广东省茂名市2018-2019学年高三理数第一次综合测试试卷

试卷更新日期：2019-03-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ， $B = {x | x^{2} - 7 x + 10 \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，若 $(1 + i) (a + i)$ 为实数，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、-2 C、-1 D、0

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3. 已知 $a = 3^{\frac{1}{2}}$ ， $b = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $c = {log}_{3} 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，它是由五块等腰直角三角形、三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 D、

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5. “ $x > 1$ ”是“ $x + \frac{4}{x} \geq 4$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x) = a x - ln (e^{x} + 1) (a \in R)$ 为偶函数，则a=（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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7. 函数 $f (x) = sin 2 x + sin x$ 在 $[- π ， π]$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = cos (\frac{π}{6} - 2 x)$ ，把 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 B、的图像关于直线对称 C、的一个零点为 D、的一个单调减区间为

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9. 如图，网格纸的正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（）

A、6 B、18 C、12 D、36

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义域在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，则关于 $x$ 的方程 $f (x) = | cos π x |$ 在 $[- \frac{1}{2} ， \frac{5}{2}]$ 上所有实数解之和为（）

A、1 B、3 C、6 D、7

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ， $P$ 为其右支上一点， $P F_{1}$ 与 $y = - \frac{b}{a} x$ 渐近线交于点 $Q$ ，与渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 交于点 $R$ ， $R Q$ 的中点为 $M$ ，若 $R F_{2} ⊥ P F_{1}$ ，且 $A M ⊥ P F_{1}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 B、2 C、 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

12. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (m ， - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，则 $m =$ ．

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13. ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 的展开式中的常数项是．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a b = (a^{2} + c^{2}) cos C$ ， $cos B = \frac{3}{4}$ ，若 $b + c = 2 + \sqrt{2}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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15. 把三个半径都是2的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第四个球（半径是2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为．

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三、解答题

16. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、若 $b_{n} = {\begin{matrix} a_{n}, n = 2 k - 1 \\ {log}_{2} a_{n}, n = 2 k \end{matrix}$ ， $k \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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17. 2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.

(1)、求该样本的中位数和方差；

(2)、若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.

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18. 已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = A C$ ， $∠ P A B = ∠ P A C$ .

(1)、求证： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A B = P A = 2$ ， $cos ∠ P A B = \frac{3}{4}$ ，求二面角 $B - P A - C$ 的平面角的余弦值.

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19. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $G$ 与抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 关于原点对称，动点 $Q$ 到点 $G$ 的距离与到点 $F$ 的距离之和为4.

(1)、求动点 $Q$ 的轨迹；

(2)、若 $p = 2 \sqrt{3}$ ，设过点 $D (0, - 2)$ 的直线 $l$ 与 $Q$ 的轨迹相交于 $A, B$ 两点，当 $Δ O A B$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{a x} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 平行.

(1)、求实数 $a$ 的值，并判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x) = m$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证 $x_{1} + x_{2} > 1$ .

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆的方程为： $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，动点 $P$ 在椭圆上， $O$ 为原点，线段 $O P$ 的中点为 $Q$ .

(1)、以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点 $Q$ 的轨迹的极坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{1}{2} t ， \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t ， \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $l$ 与点 $Q$ 的轨迹交于 $M$ 、 $N$ 两点，求弦长 $| M N |$ .

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22. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - a | (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) > - 2$ 在 $R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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