浙江省2019年高考数学模拟训练（二)

试卷更新日期：2019-03-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | x^{2} \leq 4 ， x \in Z}$ ， $A = {1 ， 2}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 双曲线 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 复数 $z = 2 i (i + 1) - 2$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 直线 $2 x + y + 4 = 0$ 与圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 5$ 交于不同的两点 $M ， N$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 B、 C、 D、 $\sqrt{5}$

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5. 函数 $y = (cos 2 x) • ln | x |$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知平面 $α$ ，直线 $m, n$ 满足 $m \subset α$ ， $n ⊄ α$ ，则“ $n ⊥ m$ ”是“ $n ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若点 $(x ， y)$ 位于由曲线 $x = | y - 2 | + 1$ 与 $x = 3$ 围成的封闭区域内（包括边界），则 $\frac{y + 1}{x - 2}$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ， $B C = C D$ ，在将 $Δ A B D$ 沿着 $B D$ 翻折成三棱锥 $A - B C D$ 的过程中，直线 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成角的角均小于直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成的角，设二面角 $A - B C - D$ ， $A - D C - B$ 的大小分别为 $α ， β$ ，则（）

A、 $α > β$ B、 C、存在 $α > β$ D、的大小关系无法确定

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9. 若平面向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 4$ ， $\overset{⇀}{a} • \overset{⇀}{b} = 4$ ， $| \overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{b} |$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 设 $α ， β ， γ$ 为互不相等的三个实数，且 $α + β + γ = k π ， k \in Z$ ，则有（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = {\begin{matrix} 1, n 为奇数 \\ a_{n - 1} + 1, n 为偶数 \end{matrix}$ ，则 $a_{2018} =$ ， $S_{2019} =$ ．

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12. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的体积为，该三棱锥的外接球的表面积为．

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13. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $cos A = \frac{4}{5}$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $cos C =$ ， $a =$ ．

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14. 已知袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球，从袋中无放回地随机取出3个球，记取出黑球的个数为 $X$ ，则 $E (X) =$ ， $D (X) =$ ．

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15. 设 $A, B$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上相异的两点，则 ${| \vec{O A} + \vec{O B} |}^{2} - {| \vec{A B} |}^{2}$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e x + a (a \in R)$ ，若 ${[f (x) + b]}^{2} \leq 1$ 对任意的 $x \in [0 ， 1]$ 恒成立，则 $a + b$ 的取值范围是．

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17. 已知集合 $A = {(x, y) | 1 \leq x \leq 4, 1 \leq y \leq 4, x, y \in N}$ ，现从集合 $A$ 中任意取出三个点，以这三个点为顶点能够得到个不同的直角三角形．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} cos (x + \frac{π}{12}), x \in R$ .

(1)、已知角 $α$ 的顶点和原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $(1, \sqrt{3})$ ，求 $f (α)$ 的值；

(2)、若 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $f (β) = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，求 $sin 2 β$ 的值.

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = \frac{π}{2}$ ， $A D = A B = B C = 2 C D$ ， $A E = E C$ ，沿对角线 $A C$ 将 $Δ A C D$ 翻折成 $Δ A C D^{'}$ ，使得 $B D^{'} = B C$ .

(1)、证明： $B E ⊥ C D^{'}$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $A B D^{'}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 3$ ， $S_{n} = a_{n} + n^{2} - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 3$ ， $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n}$ ，数列 ${\frac{1}{b_{n} - 2}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $T_{n} < 2$ .

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过点 $P (0, 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $P$ 作互相垂直的直线 $P A$ 、 $P B$ ，分别交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求椭圆方程；

(2)、求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} - x^{2} ， x \leq 1 \\ a x l n x ， x > 1 \end{matrix} (a \in R)$ .

(1)、试讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是函数 $f (x)$ 图像上异于点 $O$ 的两点，其中 $x_{1} \leq 1$ ， $x_{2} > 1$ ，是否存在实数 $a$ ，使得 $O P ⊥ O Q$ ，且函数 $f (x)$ 在点 $Q$ 切线的斜率为 $\frac{1}{12} f^{'} (x_{1} - \frac{1}{6})$ ，若存在，请求出 $a$ 的范围；若不存在，请说明理由.

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