四川省2018-2019学年高考理数一诊试卷

试卷更新日期：2019-03-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + i} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知命题p：“ $\forall a \geq 0$ ， $a^{2} + a \geq 0$ ”，则命题 $￢ p$ 为（）

A、， B、， C、， D、，

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3. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线为 $x - 2 y = 0$ ，则实数 $m =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ，点D为BC边上一点，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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5. 如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 $6$ 分米，其内有一边长为 $1$ 分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 图象相邻两条对称轴的距离为 $2 π$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，得到的图象关于y轴对称则函数 $y = f (x)$ 的图象（）

A、关于直线对称 B、关于直线对称 C、关于点对称 D、关于点对称

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7. 下列命题错误的是（）

A、不在同一直线上的三点确定一个平面 B、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 D、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面

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8. ${(3 - x)}^{5}$ 的展开式中不含 $x^{5}$ 项的系数的和为（）

A、33 B、32 C、31 D、 $- 1$

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9. 某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）

A、15 B、30 C、35 D、42

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10. 已知直线 $y = k x + m (k > 0)$ 与抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 及其准线分别交于M ， N两点，F为抛物线的焦点，若 $3 \vec{F M} = \vec{M N}$ ，则m等于（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 C、 D、

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11. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{4} - 2 S_{2} = 3$ ，则 $S_{6} - S_{4}$ 的最小值为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{4}$ B、3 C、4 D、12

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12. 已知函数 $f (2) = \frac{4 x - 2}{4 x^{2} - 4 x + 5} - {(2 x - 1)}^{3} + \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2018} f (\frac{k}{2019}) = ($ $)$

A、0 B、1009 C、2018 D、2019

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \overset{x ， x > 1}{x^{2} + 1 ， x \leq 1} \end{matrix}$ ，则 $f (2) - f (1) =$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 0$ ， $a_{n} - a_{n - 1} - 1 = 2 (n - 1) (n \in N * ， n \geq 2)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ ．

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15. $《$ 九章算术 $》$ 中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” $.$ 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形 $.$ 若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为 $24 π$ ，则该“阳马”的体积为．

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16. 某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为元 $.$

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $2 a cos B + b = 2 c$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某大型商场在2018年国庆举办了一次抽奖活动抽奖箱里放有3个红球，3个黑球和1个白球 $($ 这些小球除颜色外大小形状完全相同 $)$ ，从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱活动另附说明如下：
$①$ 凡购物满 $99 ($ 含 $99)$ 元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；

$②$ 凡购物满 $166 ($ 含 $166)$ 元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；

$③$ 若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；

$④$ 若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；

$⑤$ 若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包．

抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据 $($ 单位：元 $)$ ，绘制得到如图所示的茎叶图．

(1)、求这20位顾客中获得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数 $($ 结果精确到整数部分 $)$ ；

(2)、记一次抽奖获得的红包奖金数 $($ 单位：元 $)$ 为X ，求X的分布列及数学期望，并计算这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值 $($ 假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖 $)$ ．

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19. 如图，在棱长为2的正方体 $A C B D - A_{1} C_{1} B_{1} D_{1}$ 中，M是线段AB上的动点．

(1)、证明： $A B / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、若点M是AB中点，求二面角 $M - A_{1} B_{1} - C$ 的余弦值；

(3)、判断点M到平面 $A_{1} B_{1} C$ 的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长为4直线 $y = k x + m$ 与椭圆C交于A、B两点且 $∠ A O B$ 为直角，O为坐标原点．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $| A B |$ 的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = x + \frac{a^{2}}{x}$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $x = 1$ 是函数 $h (x) = f (x) + x + ln x$ 的极值点，求实数a的值；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， e] (e$ 为自然对数的底数 $)$ ，都有 $f (x) - 1 \geq e$ 成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与 $x$ 轴的正半轴重合，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = a sin θ$ （ $a > 0$ ），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t, \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、若 $a = 2$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$ ， $N$ 是圆 $C$ 上一动点，求 $| M N |$ 的最小值；

(2)、若直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长等于圆 $C$ 的半径，求 $a$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | 2 x - 1 | - 1$ （ $a \in R$ ）的一个零点为 $1$

(1)、求不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集；

(2)、若 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n - 1} = a$ $(m > 0, n > 1)$ ，求证： $m + 2 n \geq 11$ .

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