2019年高考数学二轮复习专题11：选修内容（坐标系、参数方程、不等式选讲）

试卷更新日期：2019-03-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 关于 $x$ 的不等式 $| x - 1 | + | x + 2 | > a$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 曲线的极坐标方程 $ρ = 4 sin θ$ 化为直角坐标为 $($ $)$

A、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ B、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ D、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$

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3. 点 $P$ 的直角坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，则点 $P$ 的极坐标为（）

A、 $(2 ， \frac{π}{3})$ B、 $(2 ， \frac{4 π}{3})$ C、 $(2 ， - \frac{π}{3})$ D、 $(- 2 ， - \frac{4 π}{3})$

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4. 曲线 $ρ cos θ + 1 = 0 关于 θ = \frac{π}{4}$ 对称的曲线的极坐标方程是（）

A、 $ρ sin θ + 1 = 0$ B、 $ρ sin θ - 1 = 0$ C、 $ρ cos θ - 1 = 0$ D、 $ρ cos θ + 1 = 0$

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5. 已知圆 A ：x²+y²=1 . 在伸缩变换 ${\begin{matrix} x' = 2 x ， \\ y' = 3 y \end{matrix}$ 的作用下变成曲线 C ，则曲线 C 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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6. 直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 + 5 t ， \\ y = 1 - 2 t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数)，则直线 $l$ 与坐标轴的交点分别为（）

A、 $(0 ， \frac{2}{5}) ， (\frac{1}{2} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{1}{5}) ， (\frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(0 ， - 4) ， (8 ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{5}{9}) ， (8 ， 0)$

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7. 在极坐标系中，曲线 $C_{1} ： ρ = 2 cos θ$ ，曲线 $C_{2} ： θ = \frac{π}{4}$ ，若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $A ， B$ 两点，则线段 $A B$ 的长度为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、1

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8. 若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，则下列不等式：① $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a b}$ ；② $| a | + b > 0$ ；③ $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ ；④ $ln a^{2} > ln b^{2}$ 中，不正确的不等式是（）

A、①④ B、②③ C、①③ D、②④

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9. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α ， \\ y = 1 + s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，曲线 $C_{2}$ 的方程为 $ρ (cos θ - sin θ) + 1 = 0$ ，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点个数为（）．

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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二、填空题

10. 已知实数 $x, y$ 满足 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ ，则 $| 3 x + 4 y - 26 |$ 的最小值为．

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11. 在极坐标系中，直线 $ρ \cos θ + ρ \sin θ$ =a $(a > 0)$ 与圆 $ρ$ =2 $\cos θ$ 相切，则a=

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12. 已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的圆心为C ，直线 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t ， \\ y = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数)与该圆相交于A ， B两点，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t + 3 ， \\ y = 3 - t ， \end{matrix}$ (参数 $t \in R$ )，圆 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ ， \\ y = 2 s i n θ + 2 ， \end{matrix}$ (参数 $θ \in [0 ， 2 π]$ )，则圆 $C$ 的圆心坐标为，圆心到直线 $l$ 的距离为.

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14. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} （ t 为参数）$ ，点 $P$ 是曲线 ${\begin{matrix} x = 1 + 2 \cos α, \\ y = 2 + 2 \sin α \end{matrix} (α 为参数)$ 上的任一点，则点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最小值为.

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三、解答题

15. 在极坐标系中，已知三点 $O (0, 0)$ ， $A (2, \frac{π}{2})$ ， $B (2 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ .

(1)、求经过 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点的圆 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + a c o s θ \\ y = - 1 + a s i n θ \end{matrix}$ ，（ $θ$ 是参数），若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 外切，求实数 $a$ 的值.

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16. 在直角坐标系 $X O Y$ 中，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆 $C$ 的圆心的坐标为 $C (- 4 ， 0) ，$ 半径为 $4$ ，直线 $l$ 的参数方程为 $l ： {\begin{matrix} x = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数)
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；直线 $l$ 的普通方程；

（Ⅱ）若圆C和直线 $l$ 相交于A，B两点，求线段AB的长.

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17. 在直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s t \\ y = 1 + s i n t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数)，曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程为 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .以平面直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立直角坐标系，射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 < α < π)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设点 $A ， B$ 分别为射线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上除原点之外的交点，求 $| A B |$ 的最大值.

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18. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1} : {\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2} : ρ (cos θ - sin θ) = 3 \sqrt{7}$ .

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 上有一动点 $M$ ，曲线 $C_{2}$ 上有一动点 $N$ ，求 $| M N |$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = | x + 2 |$ ．
（Ⅰ）解不等式 $f (x) > 4 - | x + 1 |$ ；

（Ⅱ）已知 $a + b = 2 (a > 0, b > 0)$ ，求证： $| x - 2.5 | - f (x) \leq \frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ ．

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20. 设函数 $f (x) = | 3 x - a^{2} | + | 3 x - 3 | + a$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > 17$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t + 1 \\ y = | 2 t - 1 | \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $M$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 4 ρ cos θ + 2 m ρ sin θ - m^{2}$ .

(1)、求 $C$ 和 $M$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C$ 与 $M$ 恰有4个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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22. 已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{3} c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、求曲线C的普通方程及极坐标方程；

(2)、直线l的极坐标方程是 $ρ cos (θ - \frac{π}{6}) = 3 \sqrt{3}$ ．射线OT： $θ = \frac{π}{3} (ρ > 0)$ 与曲线C交于点A ，与直线l交于点B ，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的值.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C: $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，直线 $l_{1}$ ： $x - \sqrt{3} y = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $\sqrt{3} x - y = 0$ 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、写出曲线C的参数方程以及直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与曲线C分别交于O、A两点，直线 $l_{2}$ 与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积.

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24. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 $x$ 轴非负半轴重合，直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{matrix} x = t c o s α \\ y = 1 + t s i n α \end{matrix}$ ( $t$ 为参数， $α \in [0, π)$ )，曲线 $C$ 的极坐标方程为： $ρ = 4 sin α$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点，若 $| P Q | = \sqrt{15}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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