2019年高考数学二轮复习专题10：解析几何

试卷更新日期：2019-03-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点与圆 $x^{2} + y^{2} - 10 x = 0$ 的圆心重合，且双曲线的离心率等于 $\sqrt{5}$ ，则该双曲线的标准方程为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点且与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $Δ A O B$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则双曲线的离心率为 $($ $)$

A、 $\frac{3}{2}$ B、4 C、3 D、2

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3. 圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 1 = 0$ 的公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知椭圆的两个焦点是 $(- 3 ， 0) ， (3 ， 0)$ ，且点 $(0 ， 2)$ 在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $x = t$ 与椭圆相交于点 $M ， N$ ，当 $Δ F M N$ 的周长最大时， $Δ F M N$ 的面积是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 的圆心到直线 $a x + y - 1 = 0$ 的距离为1，则 $a =$ （）

A、 B、 C、 D、2

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7. 如图，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线右支上一点， $P F_{1}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点 $T$ ， $M$ 是 $P F_{1}$ 的中点，则 $| M O | - | M T | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{41} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的两个焦点为F₁ ， F₂ ，弦AB过点F₁ ，则△ABF₂的周长为（）．

A、10 B、20 C、 D、

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任一点到两焦点的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，焦距为 $2 c$ ，若 $d_{1}$ ， $2 c$ ， $d_{2}$ 成等差数列，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 曲线y＝ $\frac{1}{2}$ x²－2x在点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ 处的切线的倾斜角为（）．

A、－135° B、45° C、－45° D、135°

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11. 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0$ 且 $k \neq 1$ )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 $A ， B$ 间的距离为2，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \sqrt{2} ，$ 当 $P ， A ， B$ 不共线时， $Δ P A B$ 面积的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 C、 D、

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，与双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 具有相同焦点F₁、F₂ ，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁、e₂ ，若∠F₁PF₂＝ $\frac{π}{3}$ ，则 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值是（）

A、 B、2＋ $\sqrt{3}$ C、 D、

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二、填空题

13. 两直线 $3 x + y - 3 = 0$ 与 $6 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为.

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14. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ .若抛物线上存在点 $A$ ,使得线段 $A F$ 的中点的横坐标为 $1$ ，则 $| A F | =$ .

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15. 已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x²﹣2x+y²﹣8＝0截得的最短弦长为．

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16. 过动点 $P$ 作圆： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 的切线 $P Q$ ，其中 $Q$ 为切点，若 $| P Q | = | P O |$ ( $O$ 为坐标原点)，则 $| P Q |$ 的最小值是.

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17. AB为过抛物线 $x^{2} = 4 y$ 焦点F的一条弦，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，以下结论正确的是，
$① x_{1} x_{2} = - 4$ ，且 $y_{1} y_{2} = 1$ $② | AB |$ 的最小值为4 $③$ 以AF为直径的圆与x轴相切．

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18. 如图，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点， $A$ ， $B$ ， $C$ 是椭圆上 $x$ 轴上方的三点，且 $A F_{1} ∥ B O ∥ C F_{2}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $\frac{| A F_{1} + C F_{2} |}{| O B |}$ 的取值范围是．

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三、解答题

19. 已知圆C与y轴相切，圆心C在直线 $l_{1} : x - 2 y = 0$ 上，且截直线 $l_{2} : x - y = 0$ 的弦长为 $\sqrt{14}$ ,求圆C的方程.

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20. 已知曲线C的极坐标方程为 $ρ = 2 cos θ - 4 sin θ .$ 以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 + t \end{matrix} (t$ 为参数 $)$ ．

(1)、判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；

(2)、若直线l和曲线C相交于A，B两点，求 $| A B |$ ．

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21. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、 $O$ 为坐标原点，求证： $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = - 3$ ；

(2)、设点 $M$ 在线段 $A B$ 上运动，原点 $O$ 关于点 $M$ 的对称点为 $C$ ，求四边形 $O A C B$ 面积的最小值

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22. 已知椭圆 $C$ 上的点 $P (x, y)$ （不包括横轴上点）满足：与 $A (- \sqrt{2}, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, 0)$ 两点连线的斜率之积等于 $- \frac{1}{2}$ ， $A$ ， $B$ 两点也在曲线 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ ；

(3)、求椭圆上的点到直线 $\sqrt{2} x + y + 2 \sqrt{5} = 0$ 距离的最小值.

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23. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 过点 $A (1 ， 1)$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、求过点 $P (3 ， - 1)$ 的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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24. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的左焦点， $T$ 为直线 $x = - 6$ 上任意一点，过点 $F$ 作 $T F$ 的垂线交 $C$ 于两点 $P, Q$ .
（ⅰ）证明: $O T$ 平分线段 $P Q$ (其中 $O$ 为坐标原点)；

（ⅱ）当 $\frac{| T F |}{| P Q |}$ 取最小值时，求点 $T$ 的坐标.

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25. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，且椭圆 $E$ 上存在点 $P$ ,使 $\overset{⇀}{O P} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}$ ( $O$ 为坐标原点).

(1)、求椭圆 $E$ 的离心率；

(2)、 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = - \frac{7}{4}$ ，求椭圆 $E$ 的方程.

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26. 已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 两点，且 $| A B | = 9$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、 $O$ 为坐位原点， $C$ 为抛物线上一点，若 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + λ \overset{⇀}{O B}$ ，求 $λ$ 的值.

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27. 已知椭圆的中心在原点，一个长轴端点为 $P (0, - 2)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过P分别作斜率为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线PA，PB，交椭圆于点A，B。

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若 $k_{1} k_{2} = 2$ ，则直线AB是否经过某一定点？

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