2019年高考数学二轮复习专题09：立体几何

试卷更新日期：2019-03-13 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、3π B、4π C、2π+4 D、3π+4

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3. 已知直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset$ 平面 $β$ ，则下列四个命题正确的是（）
$① α / / β \Rightarrow l ⊥ m$ ； $② α ⊥ β \Rightarrow l / / m$ ； $③ l / / m \Rightarrow α ⊥ β$ ； $④ l ⊥ m \Rightarrow α / / β$ ．

A、 B、 C、 D、

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 B、54 C、 D、108

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5. 已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为（）

A、64 B、 C、 D、128

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6. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ， $D$ 是 $B B_{1}$ 的中点，则 $A D$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值等于（）

A、 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 D、

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7. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是菱形且 $D_{1} D ⊥$ 平面ABCD，则 $A_{1} C$ 与BD所成的角是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 $\sqrt{2}$ ，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、

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9. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A、 B、 C、 D、 $1 + \sqrt{2}$

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二、填空题

10. 如图，半球内有一内接正四棱锥 $S - A B C D$ ，该四棱锥的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，则该半球的体为.

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三、解答题

11. 已知三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面为直角三角形，两条直角边AC和BC的长分别为4和3，侧棱AA′的长为10．
（1）若侧棱AA′垂直于底面，求该三棱柱的表面积；
（2）若侧棱AA′与底面所成的角为60°，求该三棱柱的体积．

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12. 如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1} ($ 侧棱和底面垂直的棱柱 $)$ 中，平面 $A_{1} BC ⊥$ 侧面 $A_{1} {ABB}_{1}$ ， $AB = BC = {AA}_{1} = 3$ ，线段AC、 $A_{1} B$ 上分别有一点E、F且满足 $2 AE = EC$ ， $2 BF = {FA}_{1}$ ．

(1)、求证： $AB ⊥ BC$ ；

(2)、求点E到直线 $A_{1} B$ 的距离；

(3)、求二面角 $F - BE - C$ 的平面角的余弦值．

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13. 在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $Δ A B C$ 是等边三角形，二面角 $A - B C - B_{1}$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ， $B B_{1} = C C_{1}$ .

（I）求证： $A_{1} A ⊥ B C$ ；

（II）求直线 $A B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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14. 已知 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直， $O A = O C = 3 ， O B = 2$ ， $M$ 为 $O B$ 的中点，点 $N$ 在 $A C$ 上， $A N = 2 N C$ .

（Ⅰ）求 $M N$ 的长；

（Ⅱ）若点 $P$ 在线段 $B C$ 上，设 $\frac{B P}{P C} = λ$ ，当 $A P ⊥ M N$ 时，求实数 $λ$ 的值．

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15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $Δ A D P$ 为等边三角形.

（Ⅰ）求证： $A D ⊥ P B$ ；

（Ⅱ）若 $A B = 2 ， B P = \sqrt{6}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.

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16. 在四面体ABCD中，过棱AB的上一点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H

(1)、求证：截面EFGH为平行四边形

(2)、若P、Q在线段BD、AC上， $\frac{D P}{B D} = \frac{A Q}{A C} = \frac{1}{4}$ ，且P、F不重合，证明：PQ∥截面EFGH

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17. 如图，边长为 $2$ 的等边三角形 $P C D$ 所在的平面垂直于矩形 $A B C D$ 所在的平面， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A M ⊥ P M$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $A M P$ 的距离．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ °，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D ， E$ 分别为 $A B ， A C$ 中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面 $A - P B - E$ 的大小.

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19. 如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．

(1)、求证：BD⊥平面ECD；

(2)、求D点到面CEB的距离．

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20. 如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（Ⅰ）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 $\frac{2}{5}$ ？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 2 B C$ ，点M在边DC上，点F在边AB上，且 $D F ⊥ A M$ ，垂足为E，若将 $△ A D M$ 沿AM折起，使点D位于 $D'$ 位置，连接 $D' B$ ， $D' C$ 得四棱锥 $D' - A B C M$ ．

$($ Ⅰ $)$ 求证： $A M ⊥ D' F$ ；

$($ Ⅱ $)$ 若 $∠ D' E F = \frac{π}{3}$ ，直线与平面ABCM所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $A D'$ 与平面ABCM所成角的正弦值．

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22. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；
（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{7}}{28}$ ．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

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23. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形，侧棱 $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B$ 垂直于 $A D$ 和 $B C$ ， $M$ 为棱 $S B$ 上的点， $S A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、若 $M$ 为棱 $S B$ 的中点，求证： $A M / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、当 $S M = 2 M B$ 时，求平面 $A M C$ 与平面 $S A B$ 所成的锐二面角的余弦值；

(3)、在第（2）问条件下，设点 $N$ 是线段 $C D$ 上的动点， $M N$ 与平面 $S A B$ 所成的角为 $θ$ ，求当 $sin θ$ 取最大值时点 $N$ 的位置.

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