广东省东莞市2018-2019学年高三上学期理数期末调研测试试卷

试卷更新日期：2019-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $S = {x | x > - \frac{1}{2}}$ ， $T = {x | 2^{3 x - 1} < 1}$ ，则 $S \cap^{} T =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + i) = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、2 B、 C、 D、

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3. 假设东莞市市民使用移动支付的概率都为 $p$ ，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知 $X$ 是其中10位市民使用移动支付的人数，且 $E X = 6$ ，则 $p$ 的值为（）

A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.8

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, x)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、-2 B、0 C、1 D、2

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5. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x^{2}}$ 的图像大致为 (　　)

A、 B、 C、 D、

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6. 已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）

A、 B、 C、 D、4

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7. 二项式 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式的常数项为（）

A、 B、15 C、 D、

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8. 在各项均为正数的等比数列 ${b_{n}}$ 中，若 $b_{4} \cdot b_{6} = 4$ ，则 ${log}_{2} b_{1} + {log}_{2} b_{2} + \dots + {log}_{2} b_{9} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9. 过点 $(0 ， 1)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 交圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则弦 $A B$ 的长为（）

A、 B、 C、 $2 \sqrt{2}$ D、

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10. 已知直线 $y = k x + 1$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则 $k =$ （）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时 $f (x) + x f^{'} (x) > 0$ 恒成立，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 圆锥 $S D$ （其中 $S$ 为顶点， $D$ 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 $2 ： 1$ ，则圆锥 $S D$ 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 设随机变量 $X \sim N (1 ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 2) = \frac{1}{5}$ ，则 $P (0 < X < 1) =$ ．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 3$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则边 $c =$ ．

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15. 实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x - 2 y + 2 \geq 0 \\ x + y \leq 1 \\ y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，且 $z = 3 x - y$ ，则 $z$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = sin x \cdot cos 2 x (x \in R)$ ，则 $f (x)$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 8$ ， $S_{5} = 60$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{3}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ 的值.

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18. 如图，在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a cos B + b = 2 c$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $A C$ 边上的中线 $B D$ 的长为 $\sqrt{3}$ ，且 $A B ⊥ B D$ ，求 $B C$ 的长.

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $M$ 是 $P C$ 上的一个动点， $P A = A B$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ .

(1)、当 $P C ⊥ D M$ 时，求证： $P C ⊥ B M$ ；

(2)、当 $P A ∥$ 平面 $M B D$ 时，求二面角 $P - B D - M$ 的余弦值.

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20. 如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 $x$ 和所支出的维修费 $y$ （万元）的几组对照数据：

$x$ （年）

2

3

4

5

6

$y$ （万元）

1

2.5

3

4

4.5

参考公式： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ .

(1)、若知道 $y$ 对 $x$ 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}$ ；

(2)、已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x} + b$ ，函数 $g (x) = x f (x) + 2 x^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $g (x)$ 的两个极值点，若 $b \leq - \frac{13 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $g (x_{1}) - g (x_{2})$ 的最小值.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ .

(1)、求直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 公共点的极坐标；

(2)、设过点 $P (\frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$ 的直线 $l^{'}$ 交曲线 $C_{1}$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A B$ 的中点为 $P$ ，求直线 $l^{'}$ 的斜率.

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23. 设函数 $f (x) = | x + a | - | x - 2 | - 2$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、 $\exists x \in R$ ，使得 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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$x$ （年）	2	3	4	5	6
$y$ （万元）	1	2.5	3	4	4.5