广东省2018-2019学年高三上学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2019-03-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $N = {x | \frac{x + 1}{2 - x} \geq 0}$ ，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 复数 $\frac{5}{(1 - 2 i)i}$ 在复平面内对应的点的坐标为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $sin α = - \frac{1}{3}$ ，且 $α$ 为第四象限角，则 $tan (π - α)$ 的值等于（）

A、 B、 C、 $2 \sqrt{2}$ D、

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4. 已知左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ 的双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 过点 $(\sqrt{15} ， - \frac{\sqrt{6}}{3})$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，若 $| P F_{1} | = 3$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、 $3$ B、 $6$ C、 D、 $12$

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5. 已知 $m > 0$ ，下列函数中，在其定义域内是单调递增函数且图象关于原点对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若干年前，某教师刚退休的月退休金为 $6000$ 元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图。该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图。已知目前的月就医费比刚退休时少 $100$ 元，则目前该教师的月退休金为（）

A、元 B、元 C、元 D、元

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (t ， 1)$ 与 $\overset{⇀}{b} = (4 ， t)$ 共线且方向相同，则 ${| \overset{⇀}{a} + 3 \overset{⇀}{b} |}^{2} - {| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |}^{2} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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8. 拿破仑为人好学，是法兰西科学院院士，他对数学方面很感兴趣，在行军打仗的空闲时间，经常研究平面几何。他提出了著名的拿破仑定理：以三角形各边为边分别向外（内）侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。如图所示，以等边 $Δ G E I$ 的三条边为边，向外作 $3$ 个正三角形，取它们的中心 $A ， B ， C$ ，顺次连接，得到 $Δ A B C$ ，图中阴影部分为 $Δ G E I$ 与 $Δ A B C$ 的公共部分。若往 $Δ D F H$ 中投掷一点，则该点落在阴影部分内的概率为（）

A、 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9. 已知函数 $f (x) = A cos ω x cos ϕ + A sin ω x sin ϕ (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的最大值为 $2$ ，周期为 $π$ ，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图所示为某三棱锥的三视图，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 在凸平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C + ∠ C D A = π$ ，且 $A B = A D = 7$ ， $B C = 3$ ， $C D = 5$ ，则 $Δ C B D$ 的面积 $S$ 等于（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) - f (- x) = 2 x^{3}$ ，且 $x \geq 0$ 时 $f^{'} (x) - 3 x^{2} \geq 0$ ，则不等式 $f (2 x) - f (x - 1) > 7 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 1$ 的解集为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为。（用数字作答）

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - 3 \leq 0 \\ x + y \geq 3 \\ y \leq x + 1 \end{matrix}$ ，则 $z = {(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}$ 的最小值为。

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $A C$ 交 $B D$ 于 $O$ ， $E$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点，则直线 $O E$ 被正方体外接球所截得的线段长度为。

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $P (1 ， 4)$ ，直线 $P A, P B$ 分别与抛物线 $C$ 交于点 $A, B$ ，若直线 $P A, P B$ 的斜率之和为零，则直线 $A B$ 的斜率为。

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{3} = 7$ ，且 $a_{4}$ 是 $a_{1}$ 与 $27$ 的等比中项。

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n + 1}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

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18. 水果的价格会受到需求量和天气的影响.某采购员定期向某批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场价的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的10组数据进行研究，发现可采用 $y = a x^{b}$ 来作为价格的优惠部分 $y$ （单位：元/箱）与购买量 $x$ （单位：箱）之间的回归方程，整理相关数据得到下表（表中 $X_{i} = ln x_{i} ， Y_{i} = ln y_{i}$ ）：

(1)、根据参考数据，
①建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

②若当日该种水果的市场价为200元/箱，估算购买100箱该种水果所需的金额（精确到0.1元）.

(2)、在样本中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点.已知这10个样本点中，高效点有4个，现从这10个点中任取3个点，设取到高效点的个数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望.
附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ，…， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，参考数据： $e \approx 2.71828$

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19. 在多面体 $A F C D E B$ 中， $B C D E$ 是边长为 $2$ 的正方形， $C F / / A B$ ，平面 $A B C F ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $A B = 2 F C = 2$ ， $A B ⊥ C E$ 。

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $C F E$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $A D F$ 所成角的正弦值。

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P (1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 是椭圆 $C$ 上的点，且 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $k$ 且在 $x$ 轴上的截距为 $2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于两点 $A, B$ ，若椭圆 $C$ 上存在点 $Q$ ，满足 $\overset{⇀}{O Q} = 3 (\overset{⇀}{O B} - \overset{⇀}{A Q})$ ，其中 $O$ 是坐标原点，求 $k$ 的值。

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 。

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，设 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。

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22. 已知极坐标系中，点 $M (4 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} {cos}^{2} θ + 3 ρ^{2} {sin}^{2} θ - 12 = 0$ ，点 $N$ 在曲线 $C$ 上运动，以极点为坐标原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 10 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数 $)$ 。

(1)、求直线 $l$ 的极坐标方程与曲线 $C$ 的参数方程；

(2)、求线段 $M N$ 的中点 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值。

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 | - | x - 2 |$ ， $g (x) = x + 1$ 。

(1)、求不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集；

(2)、当 $x \in (2 a, - 1 + a]$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

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