四川省绵阳市2018-2019学年高三文数第二次（1月)诊断性考试试卷

试卷更新日期：2019-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{1}{2 + i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合A={0， 1，2， 3，4}，B=｜x ｜ $e^{x - 1}$ ＞1｝，则A∩B＝（）

A、{1，2，3，4} B、{2，3，4} C、{3，4} D、{4}

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3. 下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为（）

A、0 B、2 C、3 D、5

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4. “a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 直线l：x＋y－2＝0与圆O：x²＋y²＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6. 设 $a, b$ 是互相垂直的单位向量，且（ $λ a$ ＋ $b$ ）⊥（ $a$ ＋2 $b$ ），则实数 $λ$ 的值是（）

A、2 B、－2 C、1 D、－1

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7. 执行如图的程序框图，其中输入的 $a = sin \frac{7 π}{6}$ ， $b = cos \frac{7 π}{6}$ ，则输出a的值为（）

A、1 B、－1 C、 $\sqrt{3}$ D、－ $\sqrt{3}$

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8. 若函数 $f (x) = ln x + 2 x^{2} - b x - 1$ 的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为（）

A、（－∞，4） B、（－∞，4］ C、（4，＋∞） D、（0,4）

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9. 已知斜率为2的直线l过抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）

A、1 B、 C、2 D、4

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10. 已知F₁ ， F₂是焦距为8的双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点，点F₂关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若｜AF₁｜＝4，则此双曲线的离心率为（）

A、 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11. 博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P₁ ， P₂ ，则（）

A、P₁•P₂＝ $\frac{1}{4}$ B、P₁＝P₂＝ C、P₁+P₂＝ $\frac{5}{6}$ D、P₁＜P₂

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12. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m - 4} = 1 (m > 4)$ 的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则m的取值范围是（）．

A、 B、［9，25］ C、 D、［3，5］

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二、填空题

13. 数据x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ， x₅的方差是2，则数据x₁－1，x₂－1，x₃－1，x₄－1，x₅－1的方差是．

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14. 某景区观光车上午从景区入口发车的时间为：7：30，8：00，8：30，某人上午7：40至8：30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率是．

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15. 若f（x)＝ $e^{x} - e^{- x}$ ，则满足不等式f(3x一1)十f(2)＞0的x的取值范围是．

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16. 已知点P是椭圆C： $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 上的一个动点，点Q是圆E： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 3$ 上的一个动点，则｜PQ｜的最大值是

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三、解答题

17. 设数列｛ $a_{n}$ ｝的前n项和为Sn，已知3Sn=4 $a_{n}$ －4， $n \in N *$ ．

(1)、求数列｛ $a_{n}$ ｝的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{{log}_{2} a_{n} \cdot {log}_{2} a_{n + 1}}$ ，求数列｛ $b_{n}$ ｝的前n项和Tn.

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18. 进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量．某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行．为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：

注：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据表中周一到周五的数据，求y关于x的线性回归方程。

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？

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19. △ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} \overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C}$ ＝b（ $\sqrt{3}$ c－asinC）。

(1)、求角A的大小；

(2)、若b＋c＝ $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求△ABC的面积。

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．

(1)、若直线l过点F₁ ，且｜AB｜＝ $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$ ，求k的值；

(2)、若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - m x ， m \in R$ .

(1)、试讨论f（x）的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = (x - e) f (x)$ 有且只有三个不同的零点，分别记为x₁ ， x₂ ， x₃ ，设x₁＜x₂＜x₃ ，且 $\frac{x_{3}}{x_{1}}$ 的最大值是e² ，求x₁x₃的最大值．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 + 3 c o s θ \\ y = 3 s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为： $ρ (cos θ + sin θ) = t$

(1)、求曲线C的极坐标方程；

(2)、设直线θ＝ $\frac{π}{6} (ρ \in R)$ 与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值。

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23. 已知函数 $f (x) = | x - m |, m \in R$

(1)、m＝1时，求不等式f（x－2）+f（2x）＞4的解集；

(2)、若t＜0，求证： $f (t x)$ ≥ $t f (x) + f (t m)$ ．

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