四川省广元市2018-2019学年高三数学第一次高考适应性统考试卷

试卷更新日期：2019-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3} ， B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）

A、①③ B、①④ C、②③ D、①②

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 ${(2 + i)}^{2}$ 的共轭复数为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $a = 2^{1.2}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.8}$ ， $c = ln 2$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 向量 $\overset{⇀}{m} = (2 x - 1 ， 3)$ ，向量 $\overset{⇀}{n} = (1 ， - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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6. 已知 $m, n$ 是不重合的直线， $α, β$ 是不重合的平面，有下列命题：
①若 $m \subset α, n / / α$ ，则 $m / / n$ ；②若 $m / / α, m / / β$ ，则 $α / / β$ ；③若 $α \cap^{} β = n, m / / n$ ，则 $m / / α$ 且 $m / / β$ ；④若 $m ⊥ α, m ⊥ β$ ，则 $α / / β$ .

其中真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 下列说法中正确的是（）

A、“ ” 是“函数 $f (x)$ 是奇函数”的充要条件 B、若：，，则 $\neg p$ ：， C、若为假命题，则均为假命题 D、“若，则 ”的否命题是“若，则 ”

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + cos x$ ，则其导函数 $f' (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知等比数列{a_n}中，a₃=2，a₄a₆=16，则 $\frac{a_{9} - a_{11}}{a_{5} - a_{7}}$ =（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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11. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < ϕ < π)$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{2}) =$ （）

A、 B、 C、 D、 $\frac{3}{2}$

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12. 定义域为 $R$ 的可导函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f' (x)$ ，且满足 $f (x) + f' (x) < 0$ ，则下列关系正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 若角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边为 $x$ 轴的正半轴，其终边经过点 $P_{0} (- 3 ， - 4)$ ， $tan α =$ ．

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14. 设变量 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 2 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为．

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15. 如图某几何体的三视图是直角边长为1的三个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．

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16. 已知函数 $g (x) = a - x^{2}$ （ $\frac{1}{e} \leq x \leq e$ ， $e$ 为自然对数的底数）与 $h (x) = 2 ln x$ 的图象上存在关于 $x$ 轴对称的点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${\frac{4}{a_{n} (a_{n} + 2)}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ ..

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边， $(2 b - c) cos A - a cos C = 0$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ 的最大值．

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19. 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取 $n$ 名学生进行调查.
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

(1)、已知抽取的 $n$ 名学生中含女生45人，求 $n$ 的值及抽取到的男生人数；

(2)、学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的 $n$ 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的 $2 \times 2$ 列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

(3)、在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.

$P (K^{2} \geq k)$

0.05

0.01

$k$

3.841

6.635

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20. 如图所示，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高为2，点 $D$ 是 $A_{1} B$ 的中点，点 $E$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $E - D B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ ，求该正三棱柱的底面边长.

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21. 已知函数 $f (x) = a ln x + b x^{2}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $x - y = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为 $g (x)$ 的一个上界函数，当（1）中的 $f (x)$ 为函数 $g (x) = \frac{t}{x} - ln x (t \in R)$ 的一个上界函数时，求 $t$ 的取值范围；

(3)、当 $m > 0$ 时，对（1）中的 $f (x)$ ，讨论 $F (x) = f (x) + \frac{x^{2}}{2} - \frac{m^{2} + 1}{m} x$ 在区间 $(0 ， 2)$ 上极值点的个数.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ ： ${\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} t \\ y = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 sin (θ + \frac{π}{3})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 的直角坐标为 $(0, 3)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A, B$ ，求 $| M A | + | M B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |, x \in R$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 9$ ；

(2)、若方程 $f (x) = - x^{2} + a$ 在区间 $[0, 2]$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.01
$k$	3.841	6.635