四川省广元市2018-2019学年高三理数第一次高考适应性统考试卷

试卷更新日期：2019-03-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | y = \sqrt{x - 3}}$ ， $N = (0 ， + \infty)$ ，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 C、 D、

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 ${(2 + i)}^{2}$ 的共轭复数为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 向量 $\overset{⇀}{m} = (2 x - 1 ， 3)$ ，向量 $\overset{⇀}{n} = (1 ， - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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4. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 $α = \frac{π}{6}$ ，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）

A、 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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5. 下列说法中正确的是（）

A、“ ” 是“函数 $f (x)$ 是奇函数”的充要条件 B、若 p ：，，则 $\neg p$ ：， C、若为假命题，则均为假命题 D、“若，则 ”的否命题是“若，则 ”

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + cos x$ ，则其导函数 $f' (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在我市举行“四川省运动会”期间，组委会将甲、乙、丙、丁四位志愿者全部分配到 $A ， B ， C$ 三个运动场馆执勤.若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是（）

A、24 B、36 C、72 D、96

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8. 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为141，则判断框中应填入的条件为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， 0 < ϕ < π)$ 的部分图象如图所示，且 $f (α) = 1$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{3})$ ，则 $cos (2 α + \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 B、 C、 D、 $\frac{1}{3}$

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10. 某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的表面积之比为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导数 $f' (x)$ ，对任意的 $x \in R$ ，有 $f (- x) + f (x) = x^{2}$ ，且 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f' (x) > x$ .若 $f (2 - a) - f (a) \geq 2 - 2 a$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

12. 设变量 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \\ y \geq 2 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为．

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13. 设 $2^{a} = 5^{b} = m$ ，若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知方程 $(x^{2} - 2 x + m) (x^{2} - 2 x + n) = 0$ 的四个根组成一个首项为 $\frac{1}{4}$ 的等差数列，则 $| m - n | =$ ．

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15. 在 $(1 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：① $f (2 x) = c f (x)$ （ $c$ 为正常数）；②当 $2 \leq x \leq 4$ 时， $f (x) = 1 - {(x - 3)}^{2}$ ，若 $f (x)$ 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则 $c =$ ．

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三、解答题

16. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${\frac{4}{a_{n} (a_{n} + 2)}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ .

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17. 在 $Δ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 的对边， $(2 b - c) cos A - a cos C = 0$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ 的最大值．

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18. 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取

n

名学生进行调查.

(1)、已知抽取的

n

名学生中含女生45人，求

n

的值及抽取到的男生人数；

(2)、学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的

n

名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的

2 \times 2

列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；

(3)、在抽取到的45名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为

X

，求

X

的分布列及期望.

	选择“物理”	选择“地理”	总计
男生		10
女生	25
总计

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.01
$k$	3.841	6.635

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19. 如图所示，三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $Δ A B C$ 是边长为4，的正三角形， $Δ B C D$ 是顶角 $∠ B C D$ $= 120^{0}$ 的等腰三角形，点 $P$ 为 $B D$ 上的一动点．

(1)、当 $B D = 3 B P$ 时，求证： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、当直线 $A P$ 与平面 $B C D$ 所成角为 $60^{0}$ 时，求二面角 $P - A C - B$ 的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x} - a ln (1 + x) (a \in R) ， g (x) = x^{2} e^{m x} (m \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $a < 0$ ，且对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 2] ， f (x_{1}) + 1 \geq g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ ： ${\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} t \\ y = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 sin (θ + \frac{π}{3})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 的直角坐标为 $(0 ， 3)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A ， B$ ，求 $| M A | + | M B |$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 | ， x \in R$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 9$ ；

(2)、若方程 $f (x) = - x^{2} + a$ 在区间 $[0 ， 2]$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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