浙教版2019中考数学复习专题之二次函数综合与应用

试卷更新日期:2019-03-05 类型:二轮复习

一、解答题

  • 1. 如图,已知直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过y=ax2+bx+c经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.

    (1)、若抛物线的解析式为y=﹣ 12 x2+x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.

    ①求点M、N的坐标;

    ②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;

    (2)、当点P的横坐标为2时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
  • 2. 如图,直线l:y=﹣2x+m与x轴交于点A(﹣2,0),抛物线C1:y=x2+4x+3与x轴的一个交点为B(点B在点A的左侧),过点B作BD垂直x轴交直线l于点 D.

    (1)、求m的值和点B的坐标;
    (2)、将△ABD绕点A顺时针旋转90°,点B,D的对应点分别为点E,F.

    ①点F的坐标为

    ②将抛物线C1向右平移使它经过点F,此时得到的抛物线记为C2 , 直接写出抛物线C2的表达式.

  • 3. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2﹣4ax+3a.

    (1)、求抛物线的对称轴;
    (2)、当a>0时,设抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),顶点为C,若△ABC为等边三角形,求a的值;
    (3)、过T (0,t)(其中﹣1≤t≤2)且垂直y轴的直线l与抛物线交于M,N两点.若对于满足条件的任意t值,线段MN的长都不小于1,结合函数图象,直接写出a的取值范围.
  • 4. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧),点A的坐标为(m,0),且AB=4.
    (1)、填空:点B的坐标为(用含m的代数式表示);
    (2)、把射线AB绕点A按顺时针方向旋转135°与抛物线交于点P,△ABP的面积为8:

    ①求抛物线的解析式(用含m的代数式表示);

    ②当0≤x≤1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为 12 时,求m的值.

  • 5. 如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在y轴上,边AC与x轴交于点D,经过A,D两点的圆的圆心F恰好在y轴上,⊙F与边BC相切于点E,与x轴交于点M,与y轴相交于另一点G,连接AE.

    (1)、求证:AE平分∠BAC;
    (2)、若点A,D的坐标分别为(0,﹣1),(2,0),求⊙F;
    (3)、求经过三点M,F,D的抛物线的解析式.
  • 6. 如图,抛物线的顶点为C(﹣1,﹣1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为﹣3.

    (1)、求抛物线的解析式.
    (2)、求点B的坐标及△BOC的面积.
    (3)、若点D为抛物线上的一点,点E为对称轴上的一点,且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形,请在左边的图上标出D和E的位置,再直接写出点D的坐标.
  • 7. 如图,已知抛物线y=﹣ 12 x2+bx+c与x轴交于点A,B,点A的坐标为(﹣1,0),与y轴交于点C(0,2),点D与点C关于x轴对称,点P是x轴正半轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.

    (1)、求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
    (2)、若m=3,试证明△BQM是直角三角形;
    (3)、已知点F(0, 12 ),试求m为何值时,四边形DMQF是平行四边形?
  • 8. 点P为拋物线y=x2﹣2mx+m2(m为常数,m>0)上任意一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90℃后得到的图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点.

    (1)、抛物线y=x2﹣2mx+m2的对称轴是直线 , 当m=2,点P的横坐标为4时,点Q的坐标为
    (2)、设点Q(a,b),请你用含b的代数式表示a,则a=
    (3)、如图,点Q在第一象限,点D在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,当AQ=2QC,QD=m时,求m的值.
  • 9. 如图,二次函数y=x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.

    (1)、求二次函数与一次函数的解析式;
    (2)、根据图象,直接写出满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围.
    (3)、在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得PA+PC最小,求P点坐标及最小值.
  • 10. 已知y是关于x的函数,若其函数图象经过点P(t,t),则称点P为函数图象上的“bingo点”,例如:y=2x﹣1上存在“bingo点”P(1,1)
    (1)、直线(填写直线解析式)上的每一个点都是“bingo点”;双曲线y= 1x 上的“bingo点”是
    (2)、若抛物线y= 12 x2+( 13 a+1)x﹣ 19 a2﹣a+2上有“bingo点”,且“bingo点”A、B(点A和点B可以重合)的坐标为A(x1 , y1),B(x2 , y2),求x12+x22的最小值
    (3)、若函数y= 14 x2+(n﹣k+1)x+m+k﹣1的图象上存在唯一的一个“bingo点”,且当﹣2≤n≤1时,m的最小值为k,求k的值.
  • 11. 如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B,C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

    (1)、求该抛物线的解析式;
    (2)、在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)、当0<x<3时,在抛物线上求一点Q,以Q点为圆心,以 2 长为半径的⊙Q与直线BC相切,直接写出所有满足条件的Q点坐标.
  • 12. 如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,点D为直线AE上方抛物线上的一点

    (1)、求抛物线所对应的函数解析式;
    (2)、求△ADE面积的最大值和此时点D的坐标;
    (3)、将△AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.
  • 13. 如图所示,将抛物线y= 12 x2沿x轴向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到新的抛物线.

    (1)、直接写出新抛物线的解析式为
    (2)、设新抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C,顶点为D,作CE⊥CD交抛物线于E,如图所示,探究如下问题:

    ①求点E的坐标;

    ②若一次函数y=kx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F,连接DE,猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数y=kx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系,并证明.

  • 14. 如图,已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(﹣3,0),与y轴交于点C,点D(﹣2,﹣3)在抛物线上.

    (1)、求抛物线的表达式;
    (2)、抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;
    (3)、若抛物线上有一动点M,使△ABM的面积等于△ABC的面积,求M点坐标.
    (4)、抛物线的对称轴上是否存在动点Q,使得△BCQ为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
  • 15. 如图,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)的对称轴是直线x=1,与x轴相交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣2,0).

    (1)、求抛物线的解析式;
    (2)、若点F是第四象限内抛物线上一点,过点F作FD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当OD=4FE时,求四边形FOBE的面积;
    (3)、在(2)的条件下,若点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点B,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
  • 16. 小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:

    (1)、如果在三月份出售这种植物,单株获利元;
    (2)、请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物,单株获利最大?(提示:单株获利=单株售价﹣单株成本)
  • 17. 某商品现在的售价为每件50元,每天可卖出200件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每天要少卖出10件,已知商品的进价为每件40元,请你帮助分析,当每件商品涨价多少元时,可使每天的销售利润最大,最大利润是多少?

    设每件商品涨价x元,每天售出商品的利润为y元.

    (1)、根据题意,填写下表:

    每件售价(元)

    50

    51

    52

    ……

    50+x

    每天售出商品的数量(件)

    200

    190

    ……

    每天售出商品的利润(元)

    2000

    2090

    ……

    (2)、由以上分析,用含x的式子表示y,并求出问题的解.
  • 18. 小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼,在运输过程中,有部分鱼未能存活,小李对运到的鱼进行随机抽查,结果如表一.由于市场调节,该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律,表二是近一段时间该批发店的销售记录.
    (1)、请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量;(直接写出答案)
    (2)、按此市场调节的观律,

    ①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤,请估计日销售量,并说明理由;

    ②考虑到该批发店的储存条件,小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼),且售价保持不变,求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润,并说明理由.

    表一

    所抽查的鱼的总重量m(公斤)

    100

    150

    200

    250

    350

    450

    500

    存活的鱼的重量与m的比值

    0.885

    0.876

    0.874

    0.878

    0.871

    0.880

    0.880

    表二

    该品种活鱼的售价(元/公斤)

    50

    51

    52

    53

    54

    该品神活鱼的日销售量(公斤)

    400

    360

    320

    280

    240

  • 19. 一租赁公司拥有某种型号的汽车10辆,公司在经营中发现每辆汽车每天的租赁价为120元时可全部出租,租赁价每涨3元就少出租1辆,公司决定采取涨价措施.
    (1)、填空:每天租出的汽车数y(辆)与每辆汽车的租赁价x(元)之间的关系式为
    (2)、已知租出的汽车每辆每天需要维护费30元,求租出汽车每天的实际收入w(元)与每辆汽车的租赁价x(元)之间的关系式;(租出汽车每天的实际收入=租出收入﹣租出汽车维护费)
    (3)、若未租出的汽车每辆每天需要维护费12元,则每辆汽车每天的租赁价x(元)定为多少元时,才能使公司获得日收益z(元)最大?并求出公司的最大日收益.
  • 20. 如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面

    的最大距离是5m.

    (1)、经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图),你选择的方案是(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是 , 求出你所选方案中的抛物线的表达式;
    (2)、因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.
  • 21. 某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
    (1)、求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
    (2)、求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
    (3)、如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,那么销售单价应控制在什么范围内?
  • 22. 某商场销售一种产品,每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元,该商场为了促销,规定客户一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元;
    (1)、设一次购买这种产品x(x>10)件,商场所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
    (2)、在客户购买产品的件数尽可能少的前提下,商场所获的利润为12000元,此时该商场销售了多少件产品?
  • 23. 某商品进价为每个10元,当售价为每个12元时,销售量为180个,若售价每提高1元,销售量就会减少10个,试解答下列问题:
    (1)、直接写出该商品销售量y(个)与售价x(元)(12≤x≤30)之间的函数关系式;
    (2)、为了让利给顾客,并同时获得840元的利润,售价应定为多少元?
    (3)、当售价定为多少元时,获得利润最大,最大利润是多少元?
  • 24. 在一次羽毛球比赛中,甲运动员在离地面 53 米的P点处发球,球的运动轨迹PAN可看作是一条抛物线的一部分,当球运动到最高点A处时,其高度为3米,离甲运动员站立地点O的水平距离为5米,球网BC离点O的水平距离为6米,以点O为原点建立平面直角坐标系,回答下列问题.

    (1)、求抛物线的解析式(不要求些出自变量的取值范围);
    (2)、羽毛球场地底线距离球网BC的水平距离为6米,此次发球是否会出界?
    (3)、乙运动员在球场上M(m,0)处接球,乙原地起跳可接球的最大高度为2.5米,若乙因接球高度不够而失球,求m的取值范围.
  • 25. 某小区业主委员会决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2

    (1)、直接写出:①用x的式子表示出口的宽度为

    ②y与x的函数关系式及x的取值范围

    (2)、求活动区的面积y的最大面积;
    (3)、预计活动区造价为50元/m2 , 绿化区造价为40元/m2 , 如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造,当x为整数时,共有几种建造方案?
  • 26. A、B两地果园分别有某种水果12吨和8吨,C、D两地分别需要这种水果5吨和15吨;已知从A、B到C、D的运价如表:

    到C地

    到D地

    A果园

    每吨150元

    每吨120元

    B果园

    每吨100元

    每吨90元

    若从A果园运到C地的该水果为x吨,试解答下列各题:

    (1)、填空:①从B果园运到C地的水果为吨,

    ②从A果园将水果运往D地的运输费用为元.

    (2)、用含x的式子表示出总运输费(要求:列式、化简).
    (3)、直接写出总运输费用的最小值.
    (4)、若这批水果在C地和D地进行再加工,经测算,全部加工完毕后总成本为w元,且w=﹣(x﹣3)2+185000,则当x=时,w有最值(填“大”或“小”).这个值是
  • 27. 某公司计划安排25人生产甲、乙两种产品,已知每人每天生产25件甲或15件乙,甲产品每件利润18元,当参与生产乙产品的工人少于10人时,乙产品每件利润为40元,在4人的基础上每增加1人,每件乙产品的利润下降1元,设每天安排x人生产甲产品,且不少于4人生产乙产品.
    (1)、请根据以上信息完善下表:

    产品

    工人数(人)

    每天产量(件)

    每件利润(元)

    x

    18

    (2)、请求出销售甲乙两种产品每天的总利润y关于x的表达式;
    (3)、请你设计合理的工人分配方案,使得每天的利润最大化,并求出这个最大利润.
  • 28. 某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙长足够长),中间用一道墙隔开(如图1所示).已知计划中的材料可建墙体总长46米,设两间饲养室合计长x(米),总占地面积为y(米2).

    (1)、求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.
    (2)、现需要设计这两间饲养室各开一扇门(如图2所示),每扇门宽1米,门不采用计划中的材料.

    ①求总占地面积最大为多少米2

    ②如图3所示,离墙10米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路,若拟建的饲养室面积尽量大,饲养室的门口与小路的间隔为多少米?

  • 29. 瓦子街是上杭城关老城区改造的商业文化购物步行街,瓦子街某商场经营的某个品牌童装,购进时的单价是60元,根据市场调查,在一段时间内,销售单价是80元时,销售量是200件,销售单价每降低1元,就可多售出20件.
    (1)、求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
    (2)、求出销售该品牌童装获得的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
    (3)、若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元,则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少?
  • 30. 为满足市场需求,某超市在八月十五“中秋”来临前夕,购进一种品牌月饼,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
    (1)、试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
    (2)、为稳定物价,有关管理部门限定:这种月饼的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?
  • 31. 如图,直线y= 12 x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=﹣ 12 x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为 C.

    (1)、求抛物线的解析式;
    (2)、直线AB上方抛物线上的点D,使得∠DBA=2∠BAC,求D点的坐标;
    (3)、M是平面内一点,将△BOC绕点M逆时针旋转90°后,得到△B1O1C1 , 若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上,请求点B1的坐标.
  • 32. 如图1,抛物线C1:y=ax2+bx+1的顶点坐标为D(1,0)且经过点(0,1),将抛物线C1向右平移1个单位,向下平移1个单位得到抛物线C2 , 直线y=x+c,经过点D交y轴于点A,交抛物线C2于点B,抛物线C2的顶点为P.

    (1)、求抛物线C1的解析式;
    (2)、如图2,连结AP,过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C,设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结BQ并延长交AC于点F,

    ①当点Q运动到什么位置时,S△PBD×S△BCF=8?

    ②连接PQ并延长交BC于点E,试证明:FC(AC+EC)为定值.

  • 33. 如图,P(m,n)是抛物线y=﹣ x24 +1上任意一点,l是过点(0,2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H,PH交x轴于Q.

    (1)、【探究】填空:当m=0时,OP= , PH=;当m=4时,OP= , PH=
    (2)、【证明】对任意m,n,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想.
    (3)、【应用】当OP=OH,且m≠0时,求P点的坐标.
  • 34. 定义:点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.

    例如,如图1,正方形ABCD满足A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1),那么点O(0,0)到正方形ABCD的距离为1.

    (1)、如果⊙P是以(3,4)为圆心,2为半径的圆,那么点O(0,0)到⊙P的距离为
    (2)、①求点M(3,0)到直线了y= 43 x+4的距离:

    ②如果点N(0,a)到直线y= 43 x+4的距离为2,求a的值;

    (3)、如果点G(0,b)到抛物线y=x2的距离为3,请直接写出b的值.
  • 35. 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,3)

    (1)、求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标;
    (2)、若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.设点P的横坐标为t

    ①求线段PM的最大值;

    ②S△PBM:S△MHB=1:2时,求t值;

    ③当△PCM是等腰三角形时,直接写点P的坐标.

  • 36. 如图,已知抛物线L1:y= 12 x2﹣x﹣ 32 ,L1交x轴于A,B(点A在点B左边),交y轴于C,其顶点为D,P是L1上一个动点,过P沿y轴正方向作线段PQ∥y轴,使PQ=t,当P点在L1上运动时,Q随之运动形成的图形记为L2

    (1)、若t=3,求点P运动到D点时点Q的坐标,并直接写出图形L2的函数解析式;
    (2)、过B作直线l∥y轴,若直线l和y轴及L1 , L2所围成的图形面积为12,求t的值.
  • 37. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣ 34 x+3与x轴、y轴分别交于点B、C;抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点,与x轴交于另一点A.设P(x,y)是在第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作直线k⊥x轴于点M,交直线BC于点N.

    (1)、求该抛物线所对应的函数关系式;
    (2)、连接PC、ON,若以P、C、O、N四点能围成平行四边形时,求此时点P坐标;
    (3)、是否存在以P、C、N为顶点的三角形与△BNM相似?若存在,求出点N坐标;若不存在,请说明理由.
  • 38. 如图,矩形的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点.

    (1)、求此抛物线的解析式;
    (2)、点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,求点P的坐标;
    (3)、当t≤x≤t+1时,求y=ax2+bx+c的最大值.
  • 39. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.

    (1)、求抛物线的解析式;
    (2)、在AC上方的抛物线上有一动点G,如图,当点G运动到某位置时,以AG,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点G的坐标;
    (3)、是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
  • 40. 阅读下列材料:

    某同学遇到这样一个问题:在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=﹣x,点A (1,t)在抛物线y=x2﹣4x+5上,求点A到直线l的距离d.

    如图1,他过点A作AB⊥l于点B,AD∥y轴分别交x轴于点C,交直线l于点 D.他发现OC=CD,∠ADB=45°,可求出AD的长,再利用Rt△ABD求出AB的长,即为点A到直线l的距离d.

    请回答:

    (1)、图1中,AD= , 点A到直线l的距离d= . 参考该同学思考问题的方法,解决下列问题:在平面直角坐标系xOy中,点M是抛物线y=x2﹣4x+5上的一动点,设点M到直线l的距离为d.
    (2)、如图2,

    ①l:y=﹣x,d= 522 ,则点M的坐标为

    ②l:y=﹣x,在点M运动的过程中,求d的最小值;

    (3)、如图3,l:y=2x﹣7,在点M运动的过程中,d的最小值是