浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in R | 0 < x < 2}$ ， $B = {x \in R | | x | < 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} =2$ 的焦点坐标为（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 ， \\ 2 x - y \leq 0 ， \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $x - y$ 的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若复数 $z_{1} = 2 + i$ ， $z_{2} = cos α + i sin α (α \in R)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $| z_{1} - z_{2} |$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $f (x) = \frac{sin x}{x}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，则 $" a = b "$ 是 $" e^{a} - e^{b} = a - b "$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有（）

A、84种 B、100种 C、120种 D、150种

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8. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下表：

X

-1

0

1

P

a

b

c

其中 $a ， b ， c > 0$ .若 $X$ 的方差 $D X \leq \frac{1}{3}$ 对所有 $a \in (0 ， 1 - b)$ 都成立，则（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $P$ 在平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 内运动，使得二面角 $P - A B - C$ 的平面角与二面角 $P - B C - A$ 的平面角互余，则点 $P$ 的轨迹是（）

A、一段圆弧 B、椭圆的一部分 C、抛物线 D、双曲线的一支

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10. 设 $α ， β$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不等实根，记 $a_{n} = α^{n} + β^{n} (n \in N^{*})$ .下列两个命题：①数列 ${a_{n}}$ 的任意一项都是正整数；②数列 ${a_{n}}$ 第5项为10. （）

A、①正确，②错误 B、①错误，②正确 C、①②都正确 D、①②都错误

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二、填空题

11. 《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设 $x, y$ 分别为人数、猪价，则 $x =$ ， $y =$ .

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12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，表面积为.

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13. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ .若 $b sin A = a sin C$ ， $c = 1$ ，则 $b =$ ， $Δ A B C$ 面积的最大值为.

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14. 实数 $a_{i} (i = 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 满足：对任意 $x \in R$ ，都有 ${(1 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ 则 $a_{0}$ = ， $\frac{a_{0}}{1} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{3}}{4} + \frac{a_{4}}{5} + \frac{a_{5}}{6} =$ .

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ .若抛物线上存在点 $A$ ,使得线段 $A F$ 的中点的横坐标为 $1$ ，则 $| A F | =$ .

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16. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $\vec{a} \neq \vec{b}$ ， $\vec{c} \neq 0$ 且 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\frac{| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |}{| \vec{c} |}$ 的最小值是.

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17. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在开区间 $(- 1 ， 0)$ 上单调递减，则 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围是.

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三、解答题

18. （I）证明： $sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)] (α, β \in R)$ ；
（II）求函数 $f (x) = sin x cos (x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期与单调递增区间.

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19. 在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $Δ A B C$ 是等边三角形，二面角 $A - B C - B_{1}$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ， $B B_{1} = C C_{1}$ .

（I）求证： $A_{1} A ⊥ B C$ ；

（II）求直线 $A B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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20. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q \in (0, 1)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $S_{3} + a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} + \frac{1}{16}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项.
（I）求 $a_{n}$ ；

（II）设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 0$ ， $b_{n + 1} - b_{n} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .求证： $T_{n} < \frac{1}{3} (n \in N^{*})$ .

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21. 已知直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 恰有一个公共点 $P$ ， $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点.

（I）求 $k$ 与 $m$ 的关系式；

（II）点 $Q$ 与点 $P$ 关于坐标原点 $O$ 对称.若当 $k = - \frac{1}{2}$ 时， $Δ Q A B$ 的面积取到最大值 $a^{2}$ ，求椭圆的离心率.

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22. 设 $a ， b \in R$ ，函数 $f (x) = ln (1 + x) + a x^{2} + b x$ .
（I）证明：当 $b = 0$ 时，对任意实数 $a$ ，直线 $y = x$ 总是曲线 $y = f (x)$ 的切线；

（Ⅱ）若存在实数 $a$ ，使得对任意 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$ ，都有 $x f (x) > 0$ ，求实数 $b$ 的最小值.

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