浙江省诸暨市2018-2019学年高二上学期数学期末考试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线方程是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $a > b$ ， $a b c \neq 0$ ， $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 C、 D、

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3. 不等式 $| 1 - 2 x | < 1$ 的解集是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 直线 $m$ ， $n$ 在平面 $α$ 内射影也是两条直线，分别是 $m^{'}$ ， $n^{'}$ ，下列说法正确的是（）

A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则

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5. 已知函数 $y = x + \frac{4}{x - 1} (x > 1)$ ，函数的最小值等于（）

A、 B、 C、5 D、9

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6. 某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）

A、圆锥与圆柱的组合 B、棱锥与棱柱的组合 C、棱柱与棱柱的组合 D、棱锥与棱锥的组合

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7. 如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ， $D$ 是 $B B_{1}$ 的中点，则 $A D$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值等于（）

A、 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 D、

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8. 如图，双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线右支上一点， $P F_{1}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点 $T$ ， $M$ 是 $P F_{1}$ 的中点，则 $| M O | - | M T | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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9. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点 $F$ 作斜率为 $\frac{2}{3}$ 的直线，交两条渐近线于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\overset{⇀}{F A} = 7 \overset{⇀}{B F}$ ，则此双曲线的离心率等于（）

A、 B、 C、 D、 $\sqrt{5}$

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10. 正四面体 $A B C D$ 的棱 $A D$ 与平面 $α$ 所成角为 $θ$ ，其中 $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 在平面 $α$ 内，则当四面体 $A B C D$ 转动时（）

A、存在某个位置使得，也存在某个位置使得 B、存在某个位置使得，但不存在某个位置使得 C、不存在某个位置使得，但存在某个位置使得 D、既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得

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二、填空题

11. 已知 $\overset{⇀}{O A} = (1 ， 1 ， - 2)$ ， $\overset{⇀}{O B} = (0 ， 2 ， 3)$ 则 $\overset{⇀}{A B} =$ ， $| \overset{⇀}{A B} | =$ .

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12. 南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若 $\frac{b}{a} < \frac{d}{c} (a ， b ， c ， d \in N^{*})$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + d}{a + c} < \frac{d}{c}$ .例如 $π = 3.14 \dots$ ， $\frac{3}{1} < π < \frac{7}{2}$ ，使用一次“调日法”得到分数 $\frac{10}{3}$ ，范围就缩小到 $\frac{3}{1} < π < \frac{10}{3}$ .若我们要求近似值与 $π$ 的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”次，相应得到的 $π$ 的近似分数是.

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13. 若抛物线的焦点在直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 上，则抛物线的标准方程是.

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14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为，表面积为.

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15. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $P$ 是棱 $B B_{1}$ 上一点，若异面直线 $A C_{1}$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{33}$ ，则 $B P =$ .

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16. 已知 $a > b > 0$ .若 $7 a^{2} + 8 a b + 4 b^{2} = 24$ ，则当 $3 a + 2 b$ 取最大值时， $b =$ ；若 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $a + 3 b$ 的最小值 $=$ .

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17. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率大于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A$ 是椭圆的上顶点， $B$ 是椭圆上的点，则 $| A B |^{2}$ 的最大值 $=$ .

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三、解答题

18. 电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.

(1)、设每周安排连续剧甲 $x$ 次，连续剧乙 $y$ 次，列出 $x$ ， $y$ 所应该满足的条件；

(2)、应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $B A$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证 $D E ∥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = P B$ ，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ P D C \neq \frac{π}{2}$ ，求证： $C A = C B$ .

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20. 已知椭圆 $C$ 上的点 $P (x, y)$ （不包括横轴上点）满足：与 $A (- \sqrt{2}, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, 0)$ 两点连线的斜率之积等于 $- \frac{1}{2}$ ， $A$ ， $B$ 两点也在曲线 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ ；

(3)、求椭圆上的点到直线 $\sqrt{2} x + y + 2 \sqrt{5} = 0$ 距离的最小值.

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21. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $Δ P A B$ 是边长等于2的等边三角形，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $E$ ， $F$ 是棱 $P C$ 上的点， $P E = E F = F C = 1$ . $G$ ， $H$ 分别是 $A D$ ， $A B$ 的中点.

(1)、求证： $F G ∥$ 平面 $E B H$ ；

(2)、求直线 $F G$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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22. 过 $P (- 2, 5)$ 斜率为 $k$ 的直线交抛物线 $x^{2} = 4 y$ 于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点.

(1)、若点 $P$ 是 $A B$ 的中点，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、设 $Q (2, 1)$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上的定点， $A$ ， $B$ 不与点 $Q$ 重合.
①证明 $A Q ⊥ B Q$ 恒成立；

②设 $A Q$ ， $B Q$ 交直线 $x + y + 5 = 0$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ 的取值范围.

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