浙江省台州市2018-2019学年高三上学期数学期末质量评估试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x \in$ N $| - 3 \leq x \leq 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 设复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3}^{2} = a_{1} a_{4}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $\frac{S_{3}}{S_{1}}$ 的值为（）

A、 B、 C、 $\frac{3}{2}$ D、

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4. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 4$ ，则 $a b$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设不为1的实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足： $a > b > c > 0$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 ${(x^{3} - 2 x + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中常数项为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球．当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 $ξ_{1}$ ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为 $ξ_{2}$ ，则（）

A、， B、， C、， D、，

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8. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点，点 $P$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线 $l$ 上的点，记直线 $P F_{1}$ ， $l$ ， $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k$ ， $k_{2}$ ．若 $P F_{1}$ 关于 $x$ 轴对称的直线与 $P F_{2}$ 垂直，且 $k_{1}$ ， $2 k$ ， $k_{2}$ 成等比数列，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 B、 C、 $\sqrt{5}$ D、

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9. 已知函数 $y = sin x + a cos x$ ， $x \in [0 ， \frac{π}{3}]$ 的最小值为 $a$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、 $\frac{1}{4}$

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二、填空题

11. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如下图，正方形 $A B C D$ 中， $F$ ， $G$ 分别为 $A D$ 和 $A B$ 的中点，若 $E F ⊥ A D$ ， $E F = 30$ ， $G H ⊥ A B$ ， $G H = 750$ ，且 $E H$ 过点 $A$ ，则正方形 $A B C D$ 的边长为．

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12. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} x + 3 ， x < 0 ， \\ x^{2} + x - 1 ， x \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $f (2) =$ ；不等式 $f (x) > f (1)$ 的解集为．

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13. 已知 $x$ ， $y$ 满足条件 ${\begin{matrix} x - y \leq 0 ， \\ x + y - 4 \leq 0 ， \\ x - 1 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $2 x + y$ 的最大值是，原点到点 $P (x ， y)$ 的距离的最小值是．

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14. 小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为.

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15. 已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱长和为，其体积为．

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16. 若函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{1}{3} + a) x + b$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有零点，则 $a^{2} - 3 b$ 的最小值为．

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17. 设圆 $O_{1}$ ，圆 $O_{2}$ 半径都为1，且相外切，其切点为 $P$ ．点 $A$ ， $B$ 分别在圆 $O_{1}$ ，圆 $O_{2}$ 上，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最大值为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = sin \frac{x}{2} (\sqrt{3} sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2})$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC中的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的取值范围．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C$ 垂直平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B ∥ C D$ ， $P D = A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ， $E$ 为 $P B$ 的中点.

（Ⅰ）证明：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

（Ⅱ）求直线 $P D$ 与平面 $A E C$ 所成角的正弦值.

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20. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，且对任意的 $n \in$ N^* ，都有 $a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .
（Ⅰ）证明数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对任意的 $n \in$ N^*都有 $S_{n} \geq \frac{1}{a_{n}} + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 设点 $P$ 为抛物线 $Γ ： y^{2} = x$ 外一点，过点 $P$ 作抛物线 $Γ$ 的两条切线 $P A$ ， $P B$ ，切点分别为 $A$ ， $B$ ．

（Ⅰ）若点 $P$ 为 $(- 1 ， 0)$ ，求直线 $A B$ 的方程；

（Ⅱ）若点 $P$ 为圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的点，记两切线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $| \frac{1}{k_{1}} - \frac{1}{k_{2}} |$ 的取值范围．

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22. 设函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x^{3}$ ， $x \in$ R．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的实数 $x$ ，不等式 $f (x) \geq a - 2 x$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值；

（Ⅲ）设 $m \neq 0$ ，若对任意的实数 $k$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x + m$ 有且只有两个不同的实根，求实数 $m$ 的取值范围．

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