浙江省绍兴市2018-2019学年高二上学期数学期末调研测试试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $3 x - y + 1 = 0$ 的斜率是（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 已知 $α \in R$ ，则“ $cos α = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $α = 2 k π + \frac{5 π}{6}, k \in Z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 B、 C、 $\frac{2}{3}$ D、

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4. 已知方程 $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 的曲线是焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、且

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的一点 $P$ 到两个焦点距离之和为 $10$ ，则 $a^{2} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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6. 直线 $a x + 3 y - 9 = 0$ 与直线 $x - 3 y + b = 0$ 关于原点对称，则 $a ， b$ 的值是（）

A、， B、， C、， D、，

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7. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 9$ ，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 位置关系（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内含

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8. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角（）

A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、不确定

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ， $A D$ 是 $∠ A$ 的平分线，且 $A C = t A D$ ，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A A_{1} = 1$ ，点 $E$ ， $O$ 分别是线段 $D_{1} D ， D B$ 的中点， $\overset{⇀}{A_{1} F} = λ \overset{⇀}{A_{1} A} (0 < λ < \frac{1}{2})$ ，分别记二面角 $F - O B_{1} - E$ ， $F - O E - B_{1}$ ， $F - E B_{1} - O$ 的平面角为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知向量 $a = (0, 1, 0)$ ， $b = (1, 0, 1)$ ， $| λ a + b | = \sqrt{6}$ ，且 $λ > 0$ ，则λ＝.

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12. 若实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $x - y$ 的最小值为.

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13. 焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $x^{2} + m y^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则它的短半轴长为 .

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14. 已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为.

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的上顶点为 $M$ ，直线 $l$ 与该椭圆交于 $P ， Q$ 两点，且点 $(1 ， 0)$ 恰为 $△ P Q M$ 的垂心，则直线 $l$ 的方程为 .

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16. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，点 $A (1, 2)$ 在直线 $a x + b y + c = 0$ 上的射影为 $P$ ，点 $Q$ 在直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 上，则线段 $P Q$ 长度的最小值是.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中， $A (2, 2)$ ， $B (- 4, 0)$ ， $C (3, - 1)$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ．
(Ⅰ)求直线 $A D$ 的方程；

(Ⅱ)求过点 $D$ 且平行于边 $A C$ 的直线方程．

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18. 正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等， $D$ 为 $A C$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $A B_{1} / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

（Ⅱ）求证：平面 $B D C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ．

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19. 从原点 $O$ 向圆 $M ：$ ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = 2$ 作两条切线，切点分别为 $P$ ， $Q$ ，记切线 $O P$ ， $O Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．
（Ⅰ）若圆心 $M (0 ， \sqrt{3})$ ，求两切线 $O P$ ， $O Q$ 的方程；

（Ⅱ）若 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，求圆心 $M$ 的轨迹方程．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是正方形.

（Ⅰ）求证： $P C = P D$ ；

（Ⅱ）若 $2 P D = \sqrt{5} C D$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴长为 $4$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，坐标原点 $O$ 在以 $A B$ 为直径的圆上， $O H ⊥ A B$ 于 $H$ 点．试求点 $H$ 的轨迹方程．

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