浙江省宁波市九校2018-2019学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的短轴长为（）

A、8 B、10 C、5 D、4

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2. 设复数 $z$ 满足 ${(1 + i)}^{2} \cdot z = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若，，，则 B、若，，则 C、若，，则 D、若平面 $α$ 内有不共线的三点到平面的距离相等，则

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4. 有下列四个命题：
①“相似三角形周长相等”的否命题；②“若 $x > y$ ，则 $x > | y |$ ”的逆命题；③“若 $x = 1$ ，则 $x^{2} + x - 2 = 0$ ”的否命题；④“若 $b \leq 0$ ，则方程 $x^{2} - 2 b x + b^{2} + b = 0$ 有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 已知 $m$ ， $n \in R$ 则“ $m < 0$ 且 $n > 0$ ”是“抛物线 $m x^{2} + n y = 0$ 的焦点在 $y$ 轴非负半轴上”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 下列命题正确的是（）

A、是向量，不共线的充要条件 B、在空间四边形中， C、在棱长为1的正四面体中， D、设，，三点不共线， $O$ 为平面外一点，若，则，，，四点共面

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7. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有公共的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是两条曲线的交点， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，且 $e_{1} e_{2} = 1$ ，则 $e_{1} =$ （）

A、 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、

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8. 已知 $P$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右支上一点， $A$ 为其左顶点， $F (4 \sqrt{3} ， 0)$ 为其右焦点，满足 $| A F | = | P F |$ ， $∠ P F A = 60 °$ ，则点 $F$ 到直线 $P A$ 的距离为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，四边形 $A B C D$ ， $A B = B D = D A = 4$ ， $B C = C D = 2 \sqrt{2}$ ，现将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，当二面角 $A - B D - C$ 的大小在 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 时，直线 $A B$ 和 $C D$ 所成角为 $α$ ，则 $cos α$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A D$ ， $A B$ ， $C_{1} D_{1}$ 上的点， $A E = E D$ ， $A F = F B$ ， $\overset{⇀}{D_{1} G} = λ \overset{⇀}{G C_{1}} (λ \geq 4)$ .分别记二面角 $G - E F - D_{1}$ ， $G - E F - C$ ， $G - F B - C$ 的平面角为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 B、 C、 D、与的值有关

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二、填空题

11. 双曲线 $\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标是，渐近线方程是.

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12. 在空间四边形 $O A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 上一点，且 $E H = \frac{1}{4} E F$ .记 $\overset{⇀}{O H} = x \overset{⇀}{O A} + y \overset{⇀}{O B} + z \overset{⇀}{O C}$ ，则 $(x ， y ， z) =$ ，若 $\overset{⇀}{O A} ⊥ \overset{⇀}{O B}$ ， $\overset{⇀}{O A} ⊥ \overset{⇀}{O C}$ ， $∠ B O C = 60 °$ ，且 $| \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{O B} | = | \overset{⇀}{O C} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{O H} | =$ .

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13. 设复数 $z = {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2018} + {(\frac{\sqrt{2} + i}{1 - \sqrt{2} i})}^{2019}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z}$ 的虚部是， $| z | =$ .

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14. 一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是，体积是.

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15. 已知 $P (x ， y)$ 是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上的点，则 $\sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} - x$ 的最大值是.

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16. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，动弦 $A B$ 过左焦点 $F_{1}$ .若 $| \overset{⇀}{F_{2} A} - \overset{⇀}{F_{2} B} | \geq | \overset{⇀}{F_{2} A} + \overset{⇀}{F_{2} B} |$ 恒成立，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是.

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17. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点， $A C$ ， $B E$ 交于点 $F$ ， $Δ A D E$ 沿着 $A E$ 向上翻折，使点 $D$ 到 $D^{'}$ .若 $D^{'}$ 在平面 $A B C D$ 上的投影 $H$ 落在梯形 $A B C E$ 内部及边界上，则 $F H$ 的取值范围为 .

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三、解答题

18. 已知 $a > 0$ ，设命题 $p$ ：当 $x \in [\frac{1}{3}, 3]$ 时，函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} > \frac{1}{a}$ 恒成立，命题 $q$ ：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的离心率 $e \in (1, 3]$ .
（Ⅰ）若命题 $p$ 为真命题，求实数 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）若命题 $p$ 和 $q$ 中有且只有一个真命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图，在四面体 $O - A B C$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ B O C = ∠ A O C = 60 °$ ， $O A = O B = O C = 4$ .

（Ⅰ）求点 $C$ 到平面 $O A B$ 的距离；

（Ⅱ）求异面直线 $O A$ 与 $B C$ 所成角的大小.

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20. 如图，已知多面体 $P A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ， $A D = 2 B C = 4$ ， $A B = 1$ ， $P A = 2$ ， $∠ P A B = 60 °$ .

（Ⅰ）证明： $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

（Ⅱ）求直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知点 $P$ 是圆 $M ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 上的动点，定点 $N (- 1 ， 0)$ ，线段 $P N$ 的垂直平分线交 $P M$ 于点 $Q$ .

（Ⅰ）求点 $Q$ 的轨迹 $E$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $N$ 作两条斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与轨迹 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 和 $C$ ， $D$ ，记得到的四边形 $A C B D$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最大值.

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22. 如图，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线 $C ： y = x^{2}$ 外，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两切线，设两切点分别为 $A (x_{1} ， x_{1}^{2})$ ， $B (x_{2} ， x_{2}^{2})$ ，记线段 $A B$ 的中点为 $M$ .

（Ⅰ）求切线 $P A$ ， $P B$ 的方程；

（Ⅱ）证明：线段 $P M$ 的中点 $N$ 在抛物线 $C$ 上；

（Ⅲ）设点 $P$ 为圆 $D ： x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 上的点，当 $\frac{| A B |}{| P M |}$ 取最大值时，求点 $P$ 的纵坐标.

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