浙江省丽水市2018-2019学年高二上学期数学期末教学质量监控试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列直线中与直线x﹣2y+1=0平行的一条是（　　）

A、2x﹣y+1=0 B、2x﹣4y+2=0 C、2x+4y+1=0 D、2x﹣4y+1=0

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 焦点坐标是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 直线 $4 x - 3 y = 0$ 被圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 所截得的弦长为（）

A、 $3$ B、 C、 D、

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $m ， n$ 是两条不同直线， $α ， β$ 是不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若，，则 m∥n B、若，，则 C、若，，则 D、若，，则

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6. 圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、内切 B、相交 C、外切 D、相离

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7. 斜线段 $A B$ 与平面 $α$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ， $B$ 为斜足，点 $P$ 是平面 $α$ 上的动点且满足 $∠ P A B = 30^{\circ}$ ，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、双曲线的一支

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8. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点，则 $| A F | - \frac{9}{| B F |}$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 C、 D、

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9. 椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $x = t$ 与椭圆相交于点 $M ， N$ ，当 $Δ F M N$ 的周长最大时， $Δ F M N$ 的面积是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，三棱锥 $D - A B C$ 的三条棱 $D A ， D B ， D C$ 两两垂直， $A_{1}$ 是 $D A$ 的中点， $M ， N$ 是线段 $A B$ 上的点， $B M = \frac{1}{2} B N = \frac{1}{4} B A$ .记二面角 $D - A_{1} N - C$ ， $D - A_{1} M - C$ ， $D - A_{1} B - C$ 的平面角分别为 $α ， β ， γ$ ，则以下结论正确是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $A$ 为椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 9$ 的左顶点，该椭圆与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线在第一象限内的交点为 $B$ ，若直线 $A B$ 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）

A、 B、 C、 D、 $\sqrt{5}$

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12. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， G$ 分别在棱 $B B_{1} ， B C ， B A$ 上，且满足 $\overset{⇀}{B E} = \frac{3}{4} \overset{⇀}{B B_{1}}$ ， $\overset{⇀}{B F} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{B C}$ ， $\overset{⇀}{B G} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{B A}$ ， $O$ 是平面 $B_{1} G F$ ，平面 $A C E$ 与平面 $B_{1} B D D_{1}$ 的一个公共点，设 $\overset{⇀}{B O} = x \overset{⇀}{B G} + y \overset{⇀}{B F} + z \overset{⇀}{B E}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知直线经过点 $A (4 ， - 2) ， B (1 ， 1)$ ，则直线 $A B$ 的斜率为，倾斜角为．

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14. 已知双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ ，则该双曲线的焦距为，渐近线方程为．

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15. 若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为，该圆锥底面直径与母线所成角的最小值为．

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16. 若实数x，y满足不等式 ${\begin{matrix} y \leq 0 ， \\ x - 2 y \leq 2 ， \\ 2 x - y \geq 2 ， \end{matrix}$ 则 $z = x - 3 y$ 的取值范围是．

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17. 我国古代数学经典名著《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥 $P - A B C$ 为鳖臑，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = 2$ ，且该鳖臑的外接球的表面积为 $9 π$ ，则该鳖臑的表面积为．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 $| A N | + | B N | =$ ．

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19. 已知三棱锥 $P - A B C$ ， $A B ⊥ B C ， A B = 3 ， B C = 2$ ，且 $P B = 2 \sqrt{2} ，$ $P A = \sqrt{11} ，$ $P C = 4$ ， $Q$ 为底面 $Δ A B C$ 内部及边界上的动点，则 $P Q$ 与底面 $A B C$ 所成角正切值的取值范围是．

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三、解答题

20. 已知 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直， $O A = O C = 3 ， O B = 2$ ， $M$ 为 $O B$ 的中点，点 $N$ 在 $A C$ 上， $A N = 2 N C$ .

（Ⅰ）求 $M N$ 的长；

（Ⅱ）若点 $P$ 在线段 $B C$ 上，设 $\frac{B P}{P C} = λ$ ，当 $A P ⊥ M N$ 时，求实数 $λ$ 的值．

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21. 在平面直角坐标系下，已知 $A (- 1, 0), B (2, 0)$ ,动点 $M$ 满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \frac{1}{2}$ ,记动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若定点 $P (0, a)$ $(a > 0)$ ，线段 $| M P |$ 的最大值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，过点 $P$ 作曲线 $C$ 的切线 $l$ ，求 $l$ 的方程.

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22. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $F ， G$ 分别为 $P C$ ， $B C$ 的中点， $N$ 为 $F G$ 的中点， $P M = 3 A M$ .

（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $A B C$ ；

（Ⅱ）若 $P A = P C = A C = A B$ ， $B A ⊥ A C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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23. 已知两点 $A (1, - \frac{3}{2}), B (- 2, 0)$ , $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 上的动点，且 $0 \leq x_{0} \leq \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）当 $x_{0} = \frac{1}{2}$ 时，求 $Δ P A B$ 的面积；

（Ⅱ）若 $\overset{⇀}{A B} \cdot (\overset{⇀}{A P} + λ \overset{⇀}{B P}) = 0$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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