浙江省嘉兴市2018-2019学年高三上学期数学期末检测试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x < 2}$ ， $B = {x | x \geq 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 2 - i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 C、 D、

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积（单位： $c m^{3}$ ）是（）

A、 B、54 C、 D、108

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正，且 $5 a_{3}$ ， $a_{2}$ ， $3 a_{4}$ 成等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 的公比是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 D、 $\sqrt{3}$

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6. 函数 $f (x) = (x + 1) ln (| x - 1 |)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 4 = 0$ ， $l_{2} ： x + (a - 1) y + 2 = 0$ ，则“ $a = - 1$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下，则 $E (ξ)$ 的最大值是（）

$ξ$

-1

0

$a$

$P$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} + a$

$\frac{1}{4} - b$

A、 B、 C、 D、

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9. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A C$ 为正方形， $A A_{1} = a$ ， $A B = b$ ，且 $a > b$ ，侧棱 $C C_{1}$ 上一点 $E$ 满足 $C C_{1} = 3 C E$ ，设异面直线 $A_{1} B$ 与 $A D_{1}$ ， $A_{1} B$ 与 $D_{1} B_{1}$ ， $A E$ 与 $D_{1} B_{1}$ 的所成角分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| 2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | + | \overset{⇀}{b} | = 4$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、[ D、[

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二、填空题

11. 计算： $2 lg 2 + lg 25 =$ ，方程 ${log}_{2} (x + 1) = 3$ 的解为.

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12. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期是 $4 π$ ，则 $ω =$ ，若 $f (θ + \frac{π}{3}) = \frac{3}{5}$ ，则 $cos θ =$ .

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13. 已知 $(2 - x^{2}) {(1 + a x)}^{3}$ 的展开式的所有项系数之和为27，则实数 $a =$ ，展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数是.

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14. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x \leq 1 ， \\ y \leq 3 x + 1 ， \end{matrix}$ 所表示的平面区域的面积等于， $z = 2 x + y$ 的取值范围是.

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15. 已知正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 4$ ，则 $\sqrt{2 x (y + 1)}$ 的最大值为.

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16. 浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校 $A$ 、 $B$ 两个专业各需要一门科目满足要求即可， $A$ 专业：物理、化学、技术； $B$ 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有种.（用数字作答）

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17. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的一点，过 $P$ 作直线 $x = - 2$ 的垂线，垂足为 $H$ ，直线 $l$ 经过原点，由 $l$ 上的一点 $Q$ 向圆 $C ： {(x + 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ 引两条切线，分别切圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且 $Δ M Q N$ 为直角三角形，则 $| P Q | + | P H |$ 的最小值是.

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三、解答题

18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{2 b - c}{a} = \frac{cos C}{cos A}$ .
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{14}$ ， $b + c = 4 \sqrt{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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19. 在数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 中，设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ， $3 b_{1} + 5 b_{2} + \dots + (2 n + 1) b_{n} = 2^{n} \cdot a_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ .
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

（Ⅱ）若 $n \geq k$ 时， $b_{n} \geq 8 S_{n}$ 恒成立，求整数 $k$ 的最小值.

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20. 如图，多面体 $P A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 由正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和四棱锥 $P - A B C D$ 组成.正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，四棱锥 $P - A B C D$ 侧棱长都相等，高为1.

（Ⅰ）求证： $B_{1} C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅱ）求二面角 $B - P B_{1} - C$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点 $O$ ，其右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，以坐标原点 $O$ 为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 $x - y + \sqrt{6} = 0$ 相切.

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）经过点 $F$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 及 $C$ ， $D$ 四点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，探究：是否存在常数 $λ$ ，使得 $| A B | + | C D | = λ | A B | \cdot | C D |$ .

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22. 已知函数 $f (x) = ln (x + a) - \frac{b}{x} (a ， b \in R)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线方程为 $y = x - 2$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ ， $b$ 的值；

（Ⅱ）函数 $g (x) = f (x + 1) - m x (m \in R)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}$ .

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$ξ$	-1	0	$a$
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2} + a$	$\frac{1}{4} - b$