浙江省嘉兴市2018-2019学年高一上学期数学期末检测试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 3}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. $sin \frac{2 π}{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 D、

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3. 下列函数中，其图像既是中心对称图形又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3 x - 1 ， x < 1 \\ 2^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (f (\frac{2}{3})) =$ （）

A、0 B、2 C、 D、1

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5. 已知平面上 $A ， B ， C$ 三点不共线， $O$ 是不同于 $A ， B ， C$ 的任意一点，若 $(\overset{⇀}{O B} - \overset{⇀}{O C}) \cdot (\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}) = 0$ ，则 $Δ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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6. 为了得到 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图像，可以将函数 $y = sin 2 x$ 的图像向右平移 $φ$ （ $φ > 0$ ）个单位长度，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 C、 D、

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ ， $\overset{⇀}{B P} = \frac{2}{3} \overset{⇀}{B D}$ ，若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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8. 函数 $f (x) = | x - 2 | + 2 - \frac{1}{x}$ 在区间 $(0 ， 4]$ 上的值域为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ，该矩形所在的平面内一点 $P$ 满足 $| \vec{C P} | = 1$ ，记 $I_{1} = \vec{A B} \cdot \vec{A P}$ ， $I_{2} = \vec{A C} \cdot \vec{A P}$ ， $I_{3} = \vec{A D} \cdot \vec{A P}$ ，则（）

A、存在点 P ，使得 B、存在点 P ，使得 C、对任意的点 P ，有 D、对任意的点 P ，有

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10. 存在函数 $f (x)$ 满足对任意 $x \in R$ 都有（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 $•$ 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 $a^{b} = N$ $\Leftrightarrow$ $b = {log}_{a} N$ .
现在已知 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 4$ ，则 $a b =$ .

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12. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ， $B = {x | - 4 \leq x \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ ．

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13. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $P (- \sqrt{3} ， 1)$ ，则 $sin (π - α) =$ ．

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14. 已知 $\overset{⇀}{e_{1}}$ 、 $\overset{⇀}{e_{2}}$ 是同一平面内两个互相垂直的单位向量，且 $\overset{⇀}{A B} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} + k \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{C B} = \overset{⇀}{e_{1}} + 3 \overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{C D} = 2 \overset{⇀}{e_{1}} - \overset{⇀}{e_{2}}$ ，如果 $A ， B ， D$ 三点共线，则实数 $k$ 的值为．

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15. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = ln (x + 1)$ ，若 $f (m - 1) > f (3 - m)$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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16. 已知 $sin α - cos α = \sqrt{2} (0 < α < π)$ ，则 $tan α$ 的值是．

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17. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ ， $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ， $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 1$ ，若向量 $\overset{⇀}{c}$ 满足 $| \overset{⇀}{c} - \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ，则 $| \overset{⇀}{c} |$ 的最大值为．

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18. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} - a ， & x \leq 1 \\ x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} + 1 ， & x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x)$ 图像与直线 $y = 1$ 有两个不同的交点，求 $a$ 的取值范围．

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三、解答题

19. 已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + m$ ，（ $m \in R$ ）的最小值为1.

(1)、求 $m$ 的值及取此最小值时的 $x$ 值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间.

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20. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (3 ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 2 ， 4)$ ， $\overset{⇀}{c} = \overset{⇀}{a} + k \overset{⇀}{b}$ ， $k \in R$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{b} ⊥ \overset{⇀}{c}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{d} = λ \overset{⇀}{a} + μ \overset{⇀}{b}$ ，且 $λ + 2 μ = 1$ ，求 $| \overset{⇀}{d} |$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (\frac{3 + a x}{3 - x}) (a \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 为函数值不恒为零的奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $x \in [1 ， 3)$ ， $f (x) \geq t$ 恒成立，求 $t$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b (a ， b \in R)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值记为 $M (a ， b)$ ，求 $M (a ， b)$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上存在零点，求 $a^{2} + b^{2} - 3 b$ 的最小值.

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