浙江省“温州十校联合体”2018-2019学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-03-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $3 x + \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点坐标是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 设 $l ， m$ 是两条不同的直线， $α$ 是一个平面，则下列命题正确的是（）

A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则

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4. “直线y＝x＋b与圆x²＋y²＝1相交”是“0＜b＜1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 1 = 0$ 的公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，在左支上过点 $F_{1}$ 的弦AB的长为5，那么 $△ A B F_{2}$ 的周长是 $($ $)$

A、12 B、16 C、21 D、26

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7. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ，E为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线BE与 $C D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点，若 $P$ 到直线 $B C$ 与直线 $C_{1} D_{1}$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、双曲线 D、抛物线

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9. 已知点 $A 、 B$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的两点， $O$ 为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ，则 $△ O A B$ 的面积的最小值为（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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10. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体 $A_{k} B_{k} C_{k} D_{k} (k = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，记 $△ A_{k} B_{k} C_{k}$ 的三个内角分别为 $A_{k}$ ， $B_{k}$ ， $C_{k}$ ，其中一定不是“完美四面体”的为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦距为，渐近线方程为．

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12. 已知直线l：mx﹣y＝1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y＝2垂直，则m的值为，动直线l：mx﹣y＝1被圆C：x²﹣2x+y²﹣8＝0截得的最短弦长为．

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13. 某几何体的三视图如图（单位： $c m$ ），则该几何体的体积为 $c m^{3}$ ，表面积为 $c m^{2}$ ．

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14. 在平面直角坐标系中，A（a，0），D（0，b），a≠0，C（0，﹣2），∠CAB＝90°，D是AB的中点，当A在x轴上移动时，a与b满足的关系式为；点B的轨迹E的方程为．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于 $\frac{b}{\sqrt{7}}$ ，则椭圆的离心率为．

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16. 设E，F分别是正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，给出下列四个命题：
①三棱锥D₁﹣B₁EF的体积为定值；②异面直线D₁B₁与EF所成的角为45°；③D₁B₁⊥平面B₁EF；④直线D₁B₁与平面B₁EF所成的角为60°．其中正确的命题为．

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17. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x²+y²＝1和点 $A (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，点B（1，1），M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为．

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三、解答题

18. 设命题 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{2 + k} - \frac{y^{2}}{3 k + 1} = 1$ 表示双曲线；命题 $q$ ：斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P (- 2, 1),$ 且与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 有两个不同的公共点．若 $p \land q$ 是真命题，求 $k$ 的取值范围．

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19. 如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，点P，Q分别为A₁B₁ ， BC的中点．

(1)、求异面直线BP与AC₁所成角的余弦值；

(2)、求直线CC₁与平面AQC₁所成角的正弦值．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 过点 $A (1 ， 1)$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、求过点 $P (3 ， - 1)$ 的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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21. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．

（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；

（Ⅱ）求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T．
（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；

（Ⅱ）O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l′与直线l交于点P，试判断 $\frac{| P T |^{2}}{| P A | \cdot | P B |}$ 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．

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