四川省广安市、眉山市、遂宁市2018-2019学年高考文数一诊试卷

试卷更新日期：2019-03-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {1 ，$ 2，3，4， $5}$ ， $B = {2 ，$ 4，6， $8}$ ，则集合 $A \cup^{} B = ($ $)$

A、 2，3，4，5，6， B、 3，4，5， C、 3，5，6， D、

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2. 复数 $\frac{2 - i}{1 + i} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = ($ $)$

A、1 B、4 C、 D、 $- 1$

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4. 已知 $sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $cos (π - 2 α) = ($ $)$

A、 B、 C、 D、 $\frac{4}{5}$

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线为 $x - 2 y = 0$ ，则实数 $m =$ （）

A、 B、 C、 $6$ D、 $8$

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6. 如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为 $6$ 分米，其内有一边长为 $1$ 分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列命题错误的是（）

A、不在同一直线上的三点确定一个平面 B、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 D、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面

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8. 设 $a = 5^{0.4}$ ， $b = {log}_{0.4} 0.5$ ， $c = {log}_{5} 0.4$ ，则a，b，c的大小关系是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ， $g (x) = sin x$ ，要得到函数 $y = f (x)$ 的图象，只需将函数 $y = g (x)$ 的图象上的所有点（）

A、横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 B、横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 C、横坐标伸长为原来的倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 D、横坐标伸长为原来的倍，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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10. 《九章算木》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，该“阳马”的体积为 $\frac{16}{3}$ ，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

正视图侧视图

A、 B、 C、 D、

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11. 元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 $x = 0$ 时，问一开始输入的 $x$ =（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 D、

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12. 若对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，有 $f (x) + f (y) - f (x + y) = 3$ ，函数 $g (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} + f (x)$ ，则 $g (2) + g (- 2)$ 的值 $($ $)$

A、0 B、4 C、6 D、9

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $c =$ .

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14. 某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为元 $.$

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三、解答题

15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 5$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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16. 今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学后随机调查了

80

位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到具体数据如表：

	不相同	相同	合计
男	$30$	$10$	$40$
女	$35$	$5$	$40$
合计	$65$	$15$	$80$

(1)、根据如上的

2 \times 2

列联表，能否在犯错误的概率不超过

0.05

的前提下，认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关"？

(2)、计算这

80

位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校

10000

名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；

(3)、为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组织部选取

2

位男生和

3

位女生逐个进行采访，最后再随机选取

3

次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的

3

次采访对象中至少有一位男生的概率.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ $(n = a + b + c + d)$ .

附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.50$	$0.40$	$0.25$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$
$k_{0}$	$0.455$	$0.708$	$1.323$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$

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17. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A C B D - A_{1} C_{1} B_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是线段 $A B$ 上的动点.

(1)、证明： $A B / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、若点 $M$ 是 $A B$ 的中点，证明：平面 $M C C_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(3)、求三棱锥 $M - A_{1} B_{1} C$ 的体积.

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长为 $4$ ，直线 $y = k x + 2$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点且 $∠ A O B$ 为直角， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求 $| A B |$ 的长度.

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19. 已知函数 $g (x) = e^{x - 2} - a x$ $(a \in R)$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ 时， $f (x) = g (x) - e^{x - 2} + \frac{x}{ln x}$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为减函数，求实数 $a$ 的最小值.

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20. 已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与 $x$ 轴的正半轴重合，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = a sin θ$ （ $a > 0$ ），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t, \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、若 $a = 2$ ，直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$ ， $N$ 是圆 $C$ 上一动点，求 $| M N |$ 的最小值；

(2)、若直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长等于圆 $C$ 的半径，求 $a$ 的值.

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21. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | 2 x - 1 | - 1$ （ $a \in R$ ）的一个零点为 $1$

(1)、求不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集；

(2)、若 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n - 1} = a$ $(m > 0, n > 1)$ ，求证： $m + 2 n \geq 11$ .

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