湖南省株洲市2018-2019学年高三文数教学质量统一检测试卷（一)

试卷更新日期：2019-03-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ， $N = {x | \frac{1}{2} \leq 2^{x} \leq 4 ， x \in Z}$ ，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = | 2 i |$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z$ 等于（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列说法中，错误的是（）

A、若命题：，，则命题 $\neg p$ ：， B、“ ”是“ ”的必要不充分条件 C、“若，则，中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题 D、函数的图像关于对称

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4. 如下的茎叶图表示甲乙两人在5次测评中的成绩，已知甲的中位数是90，则从乙的5次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为（）

A、 B、 C、 D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项为5，且 $a_{1} a_{6} = 2 a_{3}$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、21 B、28 C、31 D、32

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6. 已知直线 $3 x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 B、 $\frac{4}{5}$ C、 D、

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7. 在 $R t Δ A B C$ 中，点 $D$ 为斜边 $B C$ 的中点， $| A B | = 8$ ， $| A C | = 6$ ，则 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{A B} =$ （）

A、48 B、40 C、32 D、16

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8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 B、 C、 D、10

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9. 将函数 $f (x) = 2 sin (4 x + \frac{π}{3})$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则下列关于函数 $y = g (x)$ 的说法正确的是（）

A、最小正周期为 B、图像关于直线对称 C、图像关于点对称 D、在上是增函数

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10. 过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是（）

A、1 B、 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、

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11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线与抛物线 $y = x^{2} + 1$ 相切，则该双曲线的离心率为

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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12. 已知函数 $f (x) = k (x - ln x) - \frac{e^{x}}{x}$ ，若 $f (x)$ 只有一个极值点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x ， 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{c} = (3 ， x)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ∥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c} | =$ ．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ y \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值为．

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15. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $a + b = 5$ ， $\frac{sin C sin A}{sin B} = \frac{3 \sqrt{7}}{2}$ ， $c = 4 b$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为．

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16. 已知 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点， $P$ 为抛物线上的动点，且 $A$ 的坐标为 $(\frac{3}{2} ， - 1)$ ，则 $\frac{| P F |}{| P A |}$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - 4$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = 2 {log}_{2} a_{n} - 3$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A D E F$ ，其中 $A B C D$ 为矩形， $A D E F$ 为直角梯形， $A F ∥ D E$ ， $A F ⊥ F E$ ， $A F = 2 E F = 2 D E = 2$ .

(1)、求证：平面 $B F D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若三棱锥 $B - A D F$ 体积为 $\frac{1}{3}$ ，求 $B D$ 与面 $B A F$ 所成角的正弦值.

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19. 经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间 $[200 ， 500]$ 内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：

(1)、按分层抽样的方法从质量落在 $[350 ， 400)$ ， $[400 ， 450)$ 的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；

(2)、以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有黄桃均以20元/千克收购；

B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

参考数据： $225 \times 0.05 + 275 \times 0.16 + 325 \times 0.24 + 375 \times 0.3 + 425 \times 0.2 + 475 \times 0.05 = 354.5$ ）

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20. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P (1, y_{0})$ 在椭圆上，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点 $T (0, 1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，是否存在常数 $λ$ ，使得 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} + λ \overset{⇀}{T A} \cdot \overset{⇀}{T B} = - 7$ 恒成立？请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{2} a x^{2} - (a + 1) x$ （其中 $a > 0$ ）.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x) = \frac{- a + 1}{2} x^{2} + f (x)$ ，设 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是函数 $g (x)$ 的两个极值点，若 $a \geq \frac{3}{2}$ ，且 $g (x_{1}) - g (x_{2}) \geq k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程分别为 $ρ = \sqrt{3} cos θ$ ， $ρ = 3 sin θ$ .
（Ⅰ）求直线 $l$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的一个交点为点 $A$ （ $A$ 不为极点），直线 $l$ 与 $O A$ 的交点为 $B$ ，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + a | x - 2 |$ （ $a$ 为实数）
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

（Ⅱ）若 $a > 1$ ，解不等式 $f (x) \leq a$ .

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