湖南省株洲市2018-2019学年高三理数教学质量统一检测试卷（一)

试卷更新日期：2019-03-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {2 ， 3}$ ，则 $(C_{\cup^{}} A) \cup^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上任意取一个数 $x$ ，使不等式 $x^{2} - x < 0$ 成立的概率为（）

A、 B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、 $\frac{1}{4}$

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3. 已知各项为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} a_{4} = 16$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、64 B、32 C、16 D、4

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4. 欧拉公式 $e^{i x} = cos x + i sin x$ （ $i$ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知， $\frac{e^{π i}}{e^{\frac{π}{4} i}}$ 表示的复数在复平面中位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知 $M$ 、 $N$ 是不等式组 ${\begin{matrix} x \geq 1 ， \\ y \geq 1 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y \leq 6 \end{matrix}$ 所表示的平面区域内的两个不同的点，则 $| M N |$ 的最大值是（）

A、 B、 C、 $3 \sqrt{2}$ D、

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6. 若均不为1的实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a > b > 0$ ，且 $a b > 1$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 B、 C、 D、10

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8. 如图，边长为1正方形 $A B C D$ ，射线 $B P$ 从 $B A$ 出发，绕着点 $B$ 顺时针方向旋转至 $B C$ ，在旋转的过程中，记 $∠ A B P = x (x \in [0 ， \frac{π}{2}])$ ， $B P$ 所经过的在正方形 $A B C D$ 内的区域（阴影部分）的面积为 $y = f (x)$ ，则函数 $f (x)$ 的图像是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 $a$ 、 $b$ 、 $i$ 的值分别为6、8、0，则输出 $a$ 和 $i$ 的值分别为（）

A、0，3 B、0，4 C、2，3 D、2，4

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} s i n (x + a) ， x \leq 0 \\ c o s (x + b) ， x > 0 \end{matrix}$ 的图像关于 $y$ 轴对称，则 $y = sin x$ 的图像向左平移（）个单位，可以得到 $y = cos (x + a + b)$ 的图像（）.

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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11. 已知一条抛物线恰好经过等腰梯形 $A B C D$ 的四个顶点，其中 $A B = 4$ ， $B C = C D = A D = 2$ ，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ 为 $C C_{1}$ 的中点.若 $A M ⊥$ 平面 $α$ ，且 $B \in$ 平面 $α$ ，则平面 $α$ 截正方体所得截面的周长为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的率心率为．

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14. ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中的常数项的值是．（用数学作答）

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15. 设 $Δ A B C$ 的外心 $P$ 满足 $\overset{⇀}{A P} = \frac{1}{3} (\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C})$ ，则 $cos ∠ B A C =$ ．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，其余各项为1或2，且在第 $k$ 个1和第 $k + 1$ 个1之间有 $2 k - 1$ 个2，即数列 ${a_{n}}$ 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2019} =$ ．（用数字作答）

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $cos 2 A = - \frac{1}{3}$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $sin A = \sqrt{6} sin C$ .
（Ⅰ）求 $a$ 的值；

（Ⅱ）若角 $A$ 为锐角，求 $b$ 的值及 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 如图（1），等腰梯形 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $C D$ 的两个三等分点.若把等腰梯形沿虚线 $A F$ 、 $B E$ 折起，使得点 $C$ 和点 $D$ 重合，记为点 $P$ ，如图（2）.

（Ⅰ）求证：平面 $P E F ⊥$ 平面 $A B E F$ ；

（Ⅱ）求平面 $P A E$ 与平面 $P A B$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P (1, y_{0})$ 在椭圆上，且 $P F_{2} ⊥ x$ 轴， $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点 $T (0, 1)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $O$ 为坐标原点，是否存在常数 $λ$ ，使得 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} + λ \overset{⇀}{T A} \cdot \overset{⇀}{T B} = - 7$ 恒成立？请说明理由.

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20. 某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有 $N$ 人，若逐个检验就需要检验 $N$ 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有 $k$ 个人，把这个 $k$ 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这 $k$ 个人的血液全为阴性，因而这 $k$ 个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个 $k$ 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这 $k$ 个人再逐个进行检验，这时 $k$ 个人的检验次数为 $k + 1$ 次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为 $p$ .
（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若 $p = 0.1$ ，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；

（Ⅱ）设 $ξ$ 为 $k$ 个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.

①当 $k = 5$ ， $p = 0.1$ 时，求 $ξ$ 的分布列；

②是运用统计概率的相关知识，求当 $k$ 和 $p$ 满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.

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21. 已知函数 $f (x) = 4 x^{2} - 4 x + m ln (2 x)$ ，其中 $m$ 为大于零的常数
（Ⅰ）讨论 $y = f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $y = f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) \geq a x_{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程分别为 $ρ = \sqrt{3} cos θ$ ， $ρ = 3 sin θ$ .
（Ⅰ）求直线 $l$ 的极坐标方程；

（Ⅱ）设曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的一个交点为点 $A$ （ $A$ 不为极点），直线 $l$ 与 $O A$ 的交点为 $B$ ，求 $| A B |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + a | x - 2 |$ （ $a$ 为实数）
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

（Ⅱ）若 $a > 1$ ，解不等式 $f (x) \leq a$ .

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