湖北省鄂州市2018-2019学年高三上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-03-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2 ， x \in Z} ， B = {- 1 ， 0 ， 1} ，$ 则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 2 ， a_{3} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、6 B、 $6 \sqrt{3}$ C、12 D、18

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3. 计算 $sin 15^{\circ} \cdot sin 75^{\circ}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 D、

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4. 下列函数为奇函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知非零向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = 1 ， | \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3} ，$ 则 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最小值为 $($ $)$

A、1 B、 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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7. 圆 $C$ 半径为 $2$ ，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆 $C$ 相切，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线，与抛物线在第一象限内交于点 $A$ ，若 $| A F | = 4$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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9. 已知双曲线 $Γ$ 过点 $M (3 ， 4)$ 且其渐近线方程为 $y = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3} x$ ， $Δ A B C$ 的顶点 $A ， B$ 恰为 $Γ$ 的两焦点，顶点 $C$ 在 $Γ$ 上且 $| A C | > | B C |$ ，则 $\frac{sin ∠ B A C - sin ∠ A B C}{sin ∠ A C B} =$ （）

A、 $- 2$ B、 C、 D、

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10. 若函数 $f (x) = a x - ln x$ 有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = - \frac{2}{3}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} + 2 = a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $S_{2018} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心的圆与双曲线 $C$ 的某一条渐近线交于两点 $P ， Q$ .若 $∠ P A Q = 60^{\circ}$ ，且 $\overset{⇀}{O Q} = 3 \overset{⇀}{O P}$ （其中 $O$ 为原点），则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = ln (x + 2)$ 在点 $P (- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为；

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14. 若x， $y \in R^{+}$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为；

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 3)$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | =$ ．

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，且对任意 $x ， y \in R$ 恒有 $2 f (\frac{x + y}{2}) \cdot f (\frac{x - y}{2}) = f (x) + f (y)$ ，则 $f (2018) + f (2019) =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{cos A}{a} + \frac{cos B}{b} = \frac{1}{c}$ .

(1)、证明： $a, c, b$ 成等比数列；

(2)、若 $c = 3$ ，且 $\sqrt{3} sin 2 C = 2 {cos}^{2} C + 1$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 如图1，在直角 $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ} ， A C = 4 \sqrt{3} ， A B = 2 \sqrt{3}$ ， $D ， E$ 分别为 $A C ， B D$ 的中点，连结 $A E$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图2所示．

图1 图2

(1)、求证： $A E ⊥ C D$ ；

(2)、求四棱锥 $A - C D E F$ 的体积．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = b_{1}, a_{3} = 5, a_{5} + a_{7} = 22$ .
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 及 $b_{n}$ ；

（Ⅱ）令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}, n \in N^{*}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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20. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $F_{2}$ 为抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $C_{2}$ 的准线被 $C_{1}$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 截得的弦长分别为 $2 \sqrt{2} ， 4$ 。

(1)、求 $C_{1} ， C_{2}$ 方程；

(2)、已知动直线 $l$ 与抛物线 $C_{2}$ 相切（切点异于原点），且与椭圆 $C_{1}$ 相交于 $M ， N$ 两点，若椭圆 $C_{1}$ 上存在点 $Q$ ，使得 $\overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O N} = λ \overset{⇀}{O Q} (λ \neq 0)$ ，求实数 $λ$ 的取值范围。

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x - 1}$ ．
$(1)$ 求 $f (x)$ 的单调区间；

$($ Ⅱ $)$ 证明： $f (x) > \frac{x + 1}{e^{x}} ($ 其中e是自然对数的底数， $e = 2.71828)$ ．

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22. 在平面直角坐标系中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρ cos θ + 1 = 0$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），点 $A$ 的极坐标为 $(2 \sqrt{3}, \frac{π}{6})$ ，设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $P, Q$ 两点．

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；

(2)、求 $| A P | \cdot | A Q | \cdot | O P | \cdot | O Q |$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | - | x + 1 |$ 。

(1)、解不等式 $f (x) \leq 1$ ；

(2)、记函数 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ，若 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = \frac{m}{3} (a, b, c > 0)$ ，证明： $\frac{b}{\sqrt{a}} + \frac{c}{\sqrt{b}} + \frac{a}{\sqrt{c}} \geq 1$ 。

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