2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 集合A={x|x＞0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则（∁_RA）∩B=（）

A、（0，+∞） B、{﹣2，﹣1，1，2} C、{﹣2，﹣1} D、{1，2}

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2. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y > 2 \\ x + y \leq 2 \\ y \geq - 2 \end{matrix}$ ，则z=3x+y的取值范围为（）

A、[6，10] B、（6，10] C、（﹣2，10] D、[﹣2，10）

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3. 如下图所示的程序框图，输出S的值是（）

A、30 B、10 C、15 D、21

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面PAB的面积是（）

A、 $\sqrt{7}$ B、2 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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5. α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）

A、充分且不必要条件 B、必要且不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且 $| A K | = \sqrt{2} | A F |$ ，则A点的横坐标为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、4 D、3

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7. 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C}$ 的值为（）

A、﹣ $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{11}{8}$

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8. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \cos (x - \frac{π}{2}) ， x \in [0 ， π] \\ \log_{2017} \frac{x}{π} ， x \in (π ， + \infty) \end{matrix}$ ，若有三个不同的实数a，b，c，使得f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围为（）

A、（2π，2017π） B、（2π，2018π） C、（ $\frac{3 π}{2}$ ， $\frac{4035 π}{2}$ ） D、（π，2017π）

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二、填空题

9. 设i为虚数单位，则复数 $\frac{3 - 4 i}{i}$ = ．

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10. 在（2x²﹣ $\frac{1}{5 x}$ ）⁵的二项展开式中，x的系数为．

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11. 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b²=ac，则cosB= ．

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12. 已知曲C的极坐标方程ρ=2sinθ，设直线L的参数方程 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ ，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值．

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13. 已知下列命题：

①命题：∀x∈（0，2），3^x＞x³的否定是：∃x∈（0，2），3^x≤x³；
②若f（x）=2^x﹣2^﹣^x ，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；
③若f（x）=x+ $\frac{1}{x + 1}$ ，则∃x₀∈（0，+∞），f（x₀）=1；
④等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若a₄=3，则S₇=21；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题是．（只填写序号）

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14. 定义在R上的函数f（x）满足：f（2）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜ $\frac{1}{3}$ ，则不等式f（log₂x）＞ $\frac{\log_{2} x + 1}{3}$ 的解集为．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x (\sqrt{3} \sin x + \cos x) + 2$
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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16. 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 $\frac{3}{4}$ 是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有 $\frac{1}{3}$ 持金卡，在省内游客中有 $\frac{2}{3}$ 持银卡．
（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

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17. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．

（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；

（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求 $\frac{A F}{A B}$ 的值；如果不存在，说明理由．

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18. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，公比q＞0，S₂=2a₂﹣2，S₃=a₄﹣2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n= ${\begin{matrix} \frac{\log_{2} a_{n}}{n^{2} (n + 2)} ， n 为奇数 \\ \frac{n}{a_{n}} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，T_n为{b_n}的前n项和，求T_2n ．

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19. 已知函数f（x）=x﹣ $\frac{a}{x}$ ﹣2lnx，a∈R．

(1)、讨论函数f（x）的单调性；

(2)、若函数f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，求a的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，证明：f（x₂）＜x₂﹣1．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点 $(0 ， \frac{1}{2})$ ．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

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