2017年四川省自贡市高考数学二诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合A={x|x²﹣3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（）

A、（2，3） B、（﹣2，3） C、（0，2） D、（﹣2，0）

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2. 复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）

A、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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3. 设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）

A、∀x＞0，x﹣lnx≤0 B、∀x＞0，x﹣lnx＜0 C、∃x₀＞0，x₀﹣lnx₀＞0 D、∃x₀＞0，x₀﹣lnx₀≤0

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4. 已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+ $\frac{π}{4}$ ）的值为（）

A、﹣3 B、3 C、﹣3或3 D、﹣1或3

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5. 函数f（x）=3sin（2x﹣ $\frac{π}{3}$ ）的图象可以由y=3sin2x的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到

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6. △ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足 $\vec{B M}$ =2 $\vec{M A}$ ，则 $\vec{C M}$ • $\vec{C A}$ 的值为（）

A、3 B、6 C、9 D、不确定

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7. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S_n₊₁ ， S_n ， S_n₊₂成等差数列，且a₂=﹣2，则a₇=（）

A、16 B、32 C、64 D、128

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8. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）

A、20% 369 B、80% 369 C、40% 360 D、60% 365

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9. 定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为
（）

A、 $\frac{19}{3}$ B、 $\frac{53}{8}$ C、 $\frac{171}{6}$ D、 $\frac{185}{8}$

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10. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）

A、36π B、 $\frac{64 \sqrt{2}}{3}$ π C、8 $\sqrt{6}$ π D、 $\frac{8}{3}$ π

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{3}$ ﹣y²=1的两焦点分别为F₁ ， F₂ ， P为双曲线上的一点，若PF₁与双曲线的一条渐近线平行，则cos∠F₁PF₂=（）

A、 $- \frac{11}{13}$ B、 $- \frac{11}{12}$ C、 $- \frac{7}{12}$ D、 $- \frac{1}{13}$

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12. 定义域为R的偶函数f（x）满足∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x²+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log_a（x+1）恰有三个零点，则a的取值范围是（）

A、（0， $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ） B、（0， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ） C、（ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ） D、（ $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ， $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ）

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二、填空题

13. 已知n= $\int_{0}^{2}$ x³dx，则（x﹣ $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ ）ⁿ的展开式中常数项为．

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14. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} y - 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - m \leq 0 \end{matrix}$ ，若x﹣y的最大值为6，则实数m= ．

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15. 已知△ABC的三个顶点均在抛物线x²=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为．

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16. 设f（x）= $\frac{x}{2 x + 2}$ （x＞0），计算观察以下格式：
f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f₃（x）=f（f₂（x）），f₄（x）=f（f₃（x）），…
根据以上事实得到当n∈N^*时，f_n（1）= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且c=acosB+bsinA
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2 $\sqrt{2}$ ，求△ABC的面积的最值．

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18. 如图，三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直，AB⊥BC，AF⊥AC，AF $\overset{∥}{=}$ 2CE，G是线段BF上一点，AB=AF=BC．
（Ⅰ）若EG∥平面ABC，求 $\frac{B G}{B F}$ 的值；
（Ⅱ）求二面角A﹣BF﹣E的大小的正弦值．

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19. 自贡某个工厂于2016年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从2016年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如图所示，已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润20元，生产一件合格品可获利润10元，生产一件次品要亏损10元．
（Ⅰ）求该企业2016年一年生产一件产品的利润的分布列和期望；
（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．
附：
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过E的右焦点且垂直于椭圆长轴的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|=2．

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点P（0， $\sqrt{3}$ ）的动直线l与椭圆E交于的两点M，N（不是的椭圆顶点），是否存在实数λ，使 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ +λ $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知曲线f（x）= $\frac{1}{3}$ ax³﹣blnx在x=1处的切线方程为y=﹣2x+ $\frac{8}{3}$
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：x＞0时， $\frac{x f (x)}{4}$ $+ \frac{x}{e^{x}}$ ＜ $\frac{x^{4}}{6} + \frac{2}{e}$ （e为自然对数的底数）

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \cos ϕ \\ y = 2 + 2 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcos（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）=2 $\sqrt{2}$ ．
（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长．

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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x﹣ $\frac{1}{a}$ |+|x+2a|（a∈R，且a≠0）
（Ⅰ）当a=﹣1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）证明：f（x）≥2 $\sqrt{2}$ ．

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P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828