2017年四川省凉山州高考数学二诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数z满足1+i= $\frac{1 - 3 i}{2 z}$ （其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设集合A={x∈R|x﹣1＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B“是“x∈C“的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在等比数列{a_n}中，首项a₁=1，若数列{a_n}的前n项之积为T_n ，且T₅=1024，则该数列的公比的值为（）

A、2 B、﹣2 C、±2 D、±3

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4. 函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{6}$ ）（ω＞0）的图象与x轴的交点横坐标构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，要得到g（x）=cos（ωx+ $\frac{π}{6}$ ）的图象，可将f（x）的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位

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5. 下列选项中，说法正确的是（）

A、命题“∃x₀∈R，x₀²﹣x₀≤0”的否定为“∃x∈R，x²﹣x＞0” B、命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞ $\frac{1}{2}$ ”的逆否命题为真命题 C、设{a_n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a_n}为递增数列”的充分必要条件 D、若非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |+| $\vec{b}$ |，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线

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6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）

A、（30，42] B、（20，30） C、（20，30] D、（20，42）

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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8. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} 3 x + 2 y - 12 \leq 0 \\ x \geq 2 \\ y \geq \frac{3}{2} \end{matrix}$ ，则 $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 的取值范围是（）

A、[2， $\frac{5}{2}$ ] B、[ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ] C、（0， $\frac{1}{2}$ ] D、[ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ]

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9. 设函数f（x）=8lnx+15x﹣x² ，数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N₊ ，数列{a_n}的前n项和S_n最大时，n=（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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10. 三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从後表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，前后两杆相距BD=1000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A、C、F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A、E、G三点也共线，则山峰的高度AH=（）步（古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步）

A、1250 B、1255 C、1230 D、1200

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11. 设M、N是直线x+y﹣2=0上的两动点，且|MN|= $\sqrt{2}$ ，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} e^{x} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{matrix}$ ，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x₁ ， x₂ ，则e $^{x_{1}}$ •e $^{x_{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、2（ln2﹣1） C、 $\frac{4}{e^{2}}$ D、ln2﹣1

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二、填空题

13. （1+x）（1+ $\sqrt{x}$ ）⁵的展开式中x²项的系数是．

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14. 已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒N颗黄豆，恰有n颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为．

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15. 抛物线y²=4x上一点A到它焦点F的距离为4，则直线AF的斜率为．

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16. 在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（ $\frac{1}{\tan A}$ + $\frac{1}{tanB}$ ）的取值范围是．

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三、解答题

17. 2017年春晚分会场之一是凉山西昌，电视播出后，通过网络对凉山分会场的表演进行了调查．调查分三类人群进行，参加了网络调查的观众们的看法情况如下：
观众对凉山分会场表演的看法
非常好
好
中国人且非四川（人数比例）
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
四川人（非凉山）（人数比例）
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
凉山人（人数比例）
$\frac{3}{4}$
$\frac{1}{4}$

(1)、从这三类人群中各选一个人，求恰好有2人认为“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；

(2)、若在四川人（非凉山）群中按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

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18. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin（A﹣B）= $\frac{a}{a + b}$ sinAcosB﹣ $\frac{b}{a + b}$ sinBcosA．

(1)、求证：A=B；

(2)、若A= $\frac{7 π}{24}$ ，a= $\sqrt{6}$ ，求△ABC的面积．

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19. 如图，在三棱锥C﹣PAB中，AB⊥BC，PB⊥BC，PA=PB=5，AB=6，BC=4，点M是PC的中点，点N在线段AB上，且MN⊥AB．

(1)、求AN的长；

(2)、求锐二面角P﹣NC﹣A的余弦值．

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20. 设椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点F₁、F₂ ，其离心率e= $\frac{1}{2}$ ，且点F₂到直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ =1的距离为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设点P（x₀ ， y₀）是椭圆E上的一点（x₀≥1），过点P作圆（x+1）²+y²=1的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求|AB|的取值范围．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{e^{x}}{m x^{2} + n x + k}$ ，其中m，n，k∈R．

(1)、若m=n=k=1，求f（x）的单调区间；

(2)、若n=k=1，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数m的取值范围；

(3)、若m＞0，n=0，k=1，若f（x）存在两个极值点x₁、x₂ ，求证： $\frac{e \sqrt{m}}{m}$ ＜f（x₁）+f（x₂）＜ $\frac{e^{2} + 1}{2}$ ．

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \\ y = 4 - t \end{matrix}$ （t为参数），在以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若点Q是曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值．

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23. [选修4-5：不等式选讲]
设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≥t²﹣ $\frac{7}{2}$ t恒成立，求实数t的取值范围．

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观众对凉山分会场表演的看法	非常好	好
中国人且非四川（人数比例）	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
四川人（非凉山）（人数比例）	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
凉山人（人数比例）	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$