2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若全集U=R，集合A={x|x²﹣x﹣2＞0}，则∁_UA=（）

A、（﹣1，2） B、（﹣2，1） C、[﹣1，2] D、[﹣2，1]

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2. 命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）

A、若a≤b，则a+c≤b+c B、若a+c≤b+c，则a≤b C、若a+c＞b+c，则a＞b D、若a＞b，则a+c≤b+c

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3. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、﹣1或1 C、﹣l D、l

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为F₁ ， F₂ ，双曲线上一点P满足PF₂⊥x轴，若|F₁F₂|=12，|PF₂|=5，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{13}{12}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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5. 已知α为第二象限角．且sin2α=﹣ $\frac{24}{25}$ ，则cosα﹣sinα的值为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、﹣ $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、﹣ $\frac{1}{5}$

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6. （x+1）⁵（x﹣2）的展开式中x²的系数为（）

A、25 B、5 C、﹣15 D、﹣20

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7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A、136π B、34π C、25π D、18π

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8. 将函数f（x）=sin2x+ $\sqrt{3}$ cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）

A、x=一 $\frac{π}{6}$ B、x= $\frac{π}{6}$ C、x= $\frac{24 π}{25}$ D、x= $\frac{π}{3}$

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9. 在直三棱柱ABC﹣A₁B_lC₁中，平面α与棱AB，AC，A₁C₁ ， A₁B₁分别交于点E，F，G，H，且直线AA₁∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC₁B₁；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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10. 已知A，B是圆O：x²+y²=4上的两个动点，| $\vec{A B}$ |=2， $\vec{O C}$ = $\frac{5}{3}$ $\vec{O A}$ ﹣ $\frac{2}{3}$ $\vec{O B}$ ，若M是线段AB的中点，则 $\vec{O C}$ • $\vec{O M}$ 的值为（）

A、3 B、2 $\sqrt{3}$ C、2 D、﹣3

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11. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x³ ，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣ $\frac{5}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ]上的所有实数解之和为（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣3 D、﹣1

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12. 已知曲线C₁：y²=tx（y＞0，t＞0）在点M（ $\frac{4}{t}$ ，2）处的切线与曲线C₂：y=e^x⁺¹﹣1也相切，则tln $\frac{4 e^{2}}{t}$ 的值为（）

A、4e² B、8e C、2 D、8

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二、填空题

13. 若复数z= $\frac{a i}{1 + i}$ （其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ．

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14. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．

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15. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 4 \leq 0 \\ \begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{array} \end{matrix}$ ，则 $\frac{y - 1}{x}$ 的最小值为．

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16. 已知△ABC中，AC= $\sqrt{2}$ ，BC= $\sqrt{6}$ ，△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC= $\frac{π}{4}$ ，则CD= ．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}满足a_l=﹣2，a_n₊₁=2a_n+4．
（I）证明数列{a_n+4}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{|a_n|}的前n项和S_n ．

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18. 云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．
已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．

(1)、求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

(2)、在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19. 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且 $\frac{B R}{R H}$ =λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．
（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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20. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l₁与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

（I）若直线l₁的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求△ABM的面积S的值；
（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．

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21. 已知函数f（x）=xln（x+1）+（ $\frac{1}{2}$ ﹣a）x+2﹣a，a∈R．
（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+ $\frac{1}{2}$ x的单调区间；
（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠ $\frac{π}{2}$ ）的直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos²θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1， $\frac{π}{2}$ ），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．

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