2017年四川省广安、遂宁、内江、眉山高考数学一诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知全集U={x|x≤9，x∈N⁺}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，则∁_U（A∪B）=（）

A、{3} B、{7，8} C、{7，8，9} D、{1，2，3，4，5，6}

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2. 已知i是虚数单位，若z（1+i）=1+3i，则z=（）

A、2+i B、2﹣i C、﹣1+i D、﹣1﹣i

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3. 若 $\sin α = \frac{3}{5} (0 < α < \frac{π}{2})$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{6})$ =（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$ C、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$

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4. 已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分有不必要条件

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5. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为CD的中点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A E}$ ，则λ+μ=（）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、1

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6. 如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 已知数列{a_n}满足a_n= ${\begin{matrix} (\frac{1}{2} - a) n + 1 (n < 6) \\ a^{n - 5} (n \geq 6) \end{matrix}$ 若对于任意的n∈N^*都有a_n＞a_n₊₁ ，则实数a的取值范围是（）

A、（0， $\frac{1}{2}$ ） B、（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{7}{12}$ ） C、（ $\frac{1}{2}$ ，1） D、（ $\frac{7}{12}$ ，1）

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9. 已知不等式 $\sqrt{2}$ sin $\frac{x}{4}$ cos $\frac{x}{4}$ + $\sqrt{6}$ cos² $\frac{x}{4}$ ﹣ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ﹣m≥0对于x∈[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{π}{3}$ ]恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣ $\sqrt{2}$ ] B、（﹣∞，﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ] C、[ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\sqrt{2}$ ] D、[ $\sqrt{2}$ ，+∞）

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10. 如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD= $\frac{2 π}{3}$ ，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $2 - \sqrt{2}$

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12. 已知函数y=f（x）与y=F（x）的图象关于y轴对称，当函数y=f（x）和y=F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y=f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）=|2^x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）

A、（0，2] B、[ $\frac{1}{2}$ ，+∞） C、[ $\frac{1}{2}$ ，2] D、[ $\frac{1}{2}$ ，2]∪[4，+∞）

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二、填空题

13. 二项式 ${(\frac{2}{x} + x)}^{4}$ 的展开式中常数项为．

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14. 学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．

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15. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．

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16. 若直线与圆x²+y²﹣2x﹣4y+a=0和函数 $y = \frac{x^{2}}{4}$ 的图象相切于同一点，则a的值为．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范围．

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18. 张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：
年龄（岁）
7
8
9
10
11
12
13
身高（cm）
121
128
135
141
148
154
160
（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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19. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）= $\frac{1}{3}$ x³+ax（a∈R），且曲线f（x）在x= $\frac{1}{2}$ 处的切线与直线y=﹣ $\frac{3}{4}$ x﹣1平行．
（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3， $\sqrt{3}$ ]上有三个零点，求实数m的取值范围．

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20. 设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足2 $\sqrt{S_{n}}$ =a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（a_n+1）•2 $^{a_{n}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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21. 已知函数f（x）=ae^x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由
（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e^﹣^x恒成立，求a的取值范围．

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线C₁： ${\begin{matrix} x = 3 + 3 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{matrix}$ （a为参数）经过伸缩变换 ${\begin{matrix} x^{'} = \frac{x}{3} \\ y^{'} = \frac{y}{2} \end{matrix}$ 后的曲线为C₂ ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₃的极坐标方程为ρsin（ $\frac{π}{6}$ ﹣θ）=1，且曲线C₃与曲线C₂相交于P，Q两点，求|PQ|的值．

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23. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数f（x）=|x+b²|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a²+c²|+|x﹣2b²|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．
（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．

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年龄（岁）	7	8	9	10	11	12	13
身高（cm）	121	128	135	141	148	154	160