2017年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-20 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x|3x﹣x²＞0}，B={x|x﹣1＜0}，则集合A∩B为（）

A、{x|x＜0} B、{x|x＜1或x＞3} C、{x|0＜x＜1} D、{x|x＜3}

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2. 已知i是虚数单位，若复数z= $\frac{3 + 4 i}{i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、﹣3i B、﹣3 C、3i D、3

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3. 已知菱形ABCD的边长为2，E为AB的中点，∠ABC=120°，则 $\vec{D E} \cdot \vec{B D}$ 的值为（）

A、3 B、﹣3 C、 $\sqrt{3}$ D、﹣ $\sqrt{3}$

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4. 在学期初，某班开展任课教师对特困生的帮扶活动，已知该班有3名青年任课教师与4名特困生结成帮扶关系，若这3名青年教师每位至少与一名学生结成帮扶关系，又这4名特困学生都能且只能得到一名教师的帮扶，那么不同的帮扶方案的种数为（）

A、36 B、72 C、24 D、48

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5. 等差数列{a_n}中，若a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂=120，则a₉﹣ $\frac{1}{3} a_{11}$ 的值是（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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6. 已知x= $e^{\frac{1}{6}}$ （e为自然对数的底数），y=log₅2，z=log₄3，则下列结论正确的是（）

A、x＜y＜z B、y＜z＜x C、z＜y＜x D、z＜x＜y

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7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、16+3π B、12+3π C、8+4 $\sqrt{2}$ +3π D、4+4 $\sqrt{2}$ +3π

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8. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）

A、98 B、99 C、100 D、101

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线及双曲线的渐近线的交点依次为A、B，若2 $\vec{O A} = \vec{O B} + \vec{O F}$ ，则该双曲线的离心率的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在体积为 $\frac{9 π}{2}$ 的同一球面上，则PA的长为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11. 已知 $f (x) = \sin (ω x + ϕ) (ω > 0, | ϕ | < \frac{π}{2})$ 满足 $f (x) = - f (x + \frac{π}{2}), f (0) = \frac{1}{2}$ ，则g（x）=2cos（ωx+φ）在区间 [0， $\frac{π}{2}$ ] 上的最大值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、﹣2

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12. 已知函数f（x）=lnx﹣x³与g（x）=x³﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，e） B、（﹣∞，e] C、（﹣∞， $\frac{1}{e}$ ） D、（﹣∞， $\frac{1}{e}$ ]

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二、填空题

13. 若（x+ $\frac{1}{x}$ ）ⁿ展开式的二项式系数之和为64，则其常数项的值为．

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14. 若实数x、y满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x - y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 1 \leq 0 \\ 2 x + y - 8 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=4x+y的最大值为

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15. 已知抛物线y²=px（p＞0）的焦点为F，过焦点F作直线交抛物线于A、B两点，以AB为直径的圆的方程为x²+y²﹣2x﹣4y﹣4=0，则此抛物线的标准方程为

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16. 已知数列{a_n}是等比数列，其公比为2，设b_n=log₂a_n ，且数列{b_n}的前10项的和为25，那么 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}}$ +…+ $\frac{1}{a_{10}}$ 的值为．

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三、解答题

17. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，c= $\sqrt{7}$ ，且bsinB﹣asinA= $\sqrt{3}$ acosA﹣ $\sqrt{3}$ bcosB．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求a与b的值．

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18. 某学校为了了解本校高一学生每周课外阅读时间（单位：小时）的情况，按10%的比例对该校高一600名学生进行抽样统计，将样本数据分为5组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图：
（Ⅰ）求图中的x的值；
（Ⅱ）估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间；
（Ⅲ）为了进一步提高本校高一学生对课外阅读的兴趣，学校准备选拔2名学生参加全市阅读知识竞赛，现决定先在第三组、第四组、第五组中用分层抽样的放法，共随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生代表学校参加全市竞赛，在此条件下，求第三组学生被抽取的人数X的数学期望．

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19. 如图，直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=2AD=2AA₁=4，CD=1．
（Ⅰ）证明：BD₁⊥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求BD₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆C； $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞c）的左、右焦点分别为F₁（﹣c，0）、F₂（c，0），过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C相交于D、Q两点，且|DF₁|+|QF₁|=4，P为椭圆C上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的离心率；

(2)、若A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点，设点N（﹣4，0），连接NA与椭圆C相交于点E，直线BE与x轴相交于点M，试求 $\frac{N F_{2}}{M F_{2}}$ 的值．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣ $\frac{a (x - 1)}{x + 2}$ ．

(1)、若函数f（x）在定义域内不单调，求实数a的取值范围；

(2)、若函数f（x）在区间（0，1]内单调递增，求实数a的取值范围；

(3)、若x₁、x₂∈R⁺ ，且x₁≤x₂ ，求证：（lnx₁﹣lnx₂）（x₁+2x₂）≤3（x₁﹣x₂）．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + 2 \cos α \\ y = \sqrt{3} \sin α \end{matrix}$ （α为参数），将曲线C₁上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标缩短为原来的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，得到曲线C₂ ，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+ $\frac{π}{3}$ ）+ $\sqrt{3}$ =0．

(1)、求曲线C₂的极坐标方程及直线l与曲线C₂交点的极坐标；

(2)、设点P为曲线C₁上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|a﹣x|（a∈R）
（Ⅰ）当a= $\frac{3}{2}$ 时，求使不等式f（2x﹣ $\frac{3}{2}$ ）＞2f（x+2）+2成立的x的集合A；
（Ⅱ）设x₀∈A，证明f（x₀x）≥x₀f（x）+f（ax₀）．

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