2017年江西省九江市十校联考高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-20 类型：高考模拟

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一、一.选择题

1. 已知复数z满足： $\frac{z (1 + i) i^{3}}{2 - i} = 1 - i$ 则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、i B、﹣i C、1 D、﹣1

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2. 下列有关命题的说法正确的是（）

A、命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0” B、“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题 C、命题“∃x∈R，使得2x²﹣1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x²﹣1＜0” D、命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题为真命题

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3. 已知正项等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=15，若a₁+2，a₂+5，a₃+13成等比数列，则a₁₀=（）

A、21 B、22 C、23 D、24

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4. 已知 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ ， $g (x) = \cos (x + \frac{3 π}{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数y=f（x）•g（x）的周期为2 B、函数y=f（x）•g（x）的最大值为1 C、将f（x）的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位后得到g（x）的图象 D、将f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位后得到g（x）的图象

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5. 设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），则μ 与Dξ的值分别为（）

A、 $μ = \sqrt{3} ， D ξ = \sqrt{7}$ B、 $μ = \sqrt{3} ， D ξ = 7$ C、μ=3，Dξ=7 D、 $μ = 3 ， D ξ = \sqrt{7}$

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6. 函数f（x）=sin（ln $\frac{x - 1}{x + 1}$ ）的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、4 B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、12

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8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）= ${\begin{matrix} 1 ， x 为有理数 \\ 0 ， x 为无理数 \end{matrix}$ ，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题：
①f（f（x））=1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x₁ ， f（x₁）），B（x₂ ， f（x₂）），C（x₃ ， f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右交点分别为F₁ ， F₂ ，点P在椭圆上，且满足 $\vec{P F_{1}}$ • $\vec{P F_{2}}$ =9，则| $\vec{P F_{1}}$ |•| $\vec{P F_{2}}$ |的值为（）

A、8 B、10 C、12 D、15

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10. 已知数列{a_n}满足 $a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} - 2 a_{n} + 2} + 1 (n \in N_{+})$ ，则使不等式a₂₀₁₆＞2017成立的所有正整数a₁的集合为（）

A、{a₁|a₁≥2017，a₁∈N₊} B、{a₁|a₁≥2016，a₁∈N₊} C、{a₁|a₁≥2015，a₁∈N₊} D、{a₁|a₁≥2014，a₁∈N₊}

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11. 设A，B在圆x²+y²=1上运动，且|AB|= $\sqrt{3}$ ，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则| $\vec{P A}$ + $\vec{P B}$ |的最小值为（）

A、3 B、4 C、 $\frac{17}{5}$ D、 $\frac{19}{5}$

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12. 已知函数f（x）=xlnx的图象上有A、B两点，其横坐标为x₁ ， x₂（0＜x₁＜x₂＜1）且满足f（x₁）=f（x₂），若k=5（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ + $\sqrt{x_{1} x_{2}}$ ），且k为整数时，则k的值为（）（参考数据：e≈2.72）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为非零向量， $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a} ， (\vec{b} - 2 \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为．

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14. 已知 $a = \frac{1}{π} \int_{- 1}^{1} (\sqrt{1 - x^{2}} + \sin x) d x$ ，则二项式 ${(2 x - \frac{a}{x^{2}})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．

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15. 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a），（例如a=746，
则I（a）=467，D（a）=764）阅读如右图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= ．

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16. 已知直线y=k（x+ $\frac{1}{4}$ ）与曲线y= $\sqrt{x}$ 恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一动点，点P₁（x₁ ， y₁）与点P关于直线y=x+l对称，记 $\frac{y_{1} - 1}{4}$ 的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ₁ ， λ₂ ，则λ₁＞λ₂的概率是．

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三、三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若cosBcosC=﹣ $\frac{1}{8}$ ，且△ABC的面积为2 $\sqrt{3}$ ，求a．

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18. 为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，某市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[20，45]的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．

(1)、求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；

(2)、在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，沿对角线AE将△FAE的顶点F翻折到点P处，使得 $P C = \sqrt{10}$ ．

(1)、求证：平面PAE⊥平面ABCDE；

(2)、求二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

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20.
已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 \sqrt{2} x$ 的焦点相同，F₁ ， F₂为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF₁F₂面积的最大值为4 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设椭圆C上的任意一点N（x₀ ， y₀），从原点O向圆N：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²=3作两条切线，分别交椭圆于A，B两点．试探究|OA|²+|OB|²是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．

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21. 设函数f（x）=lnx，g（x）= $\frac{m (x + n)}{x + 1}$ （m＞0）．

(1)、当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；

(2)、若对任意x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求实数n的值及实数m的最大值．

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四、选做题

22. 已知直线l： $ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} m$ ，曲线C： ${\begin{matrix} x = 1 + \sqrt{3} \cos θ \\ y = \sqrt{3} \sin θ \end{matrix}$

(1)、当m=3时，判断直线l与曲线C的位置关系；

(2)、若曲线C上存在到直线l的距离等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的点，求实数m的范围．

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23. 已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x﹣1|﹣a）

(1)、当a=3时，求函数f（x）的定义域；

(2)、若不等式f（x）≥2的解集为R，求实数a的最大值．

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