辽宁省辽阳市2018-2019学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-02-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设命题： $p ： \forall x \in N$ ， $x \in Z$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、， B、， C、， D、，

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2. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{3}$ ， $a_{13}$ 是方程 $x^{2} - 20 x + 5 = 0$ 的两个根，则 $a_{8} =$ （）

A、 B、 C、 $8$ D、 $10$

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 D、

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4. 不等式 $\frac{x + 6}{1 - x} \geq 0$ 的解集为（）

A、 B、或 C、 D、或

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5. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{5}{3}$ ，且其虚轴长为8，则双曲线 $C$ 的方程为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C_{1} B} = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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7. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 a_{3} + a_{6} = 0$ ，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、 $- 1$ B、 C、 D、

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8. 设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ， $l ⊄ α$ ，则使 $l / / α$ 成立的是（）

A、， B、， C、， D、，

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9. “方程 $\frac{x^{2}}{6 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示的曲线为椭圆”是“ $2 < m < 6$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知空间向量 $\overset{⇀}{A B} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (0 ， 1 ， 1)$ ，则直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角 $θ$ 为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{3}{2 x} + \frac{6}{y} = 2$ .若 $4 x + y > 7 m - m^{2}$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设双曲线 $M ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的上顶点为 $A$ ，直线 $y = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 与 $M$ 交于 $B$ ， $C$ 两点，过 $B$ ， $C$ 分别作 $A C$ ， $A B$ 的垂线交于点 $D$ ，若 $D$ 到点 $(0 ， 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的距离不超过 $8 \sqrt{a^{2} + b^{2}} - 7 a$ ，则 $M$ 的离心率的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值为．

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14. 命题“当 $c > 0$ 时，若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ .”的逆命题是．

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15. 已知 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点， $A$ ， $B$ 是该抛物线上的两点， $| A F | + | B F | = 5$ ，则线段 $A B$ 的中点到 $x$ 轴的距离为．

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16. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ ， $Δ A B C$ 为等边三角形， $Δ P A C$ 为等腰直角三角形， $P A = P C = 4$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，则异面直线 $A C$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为．

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三、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是公比为正数的等比数列，若 $a_{1} = 2$ ，且 $2 a_{2}$ ， $a_{3}$ ，8成等差数列．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $a_{n} b_{n} = \frac{2^{n}}{n^{2} + n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n} < 1$ ．

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18. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，设 $p ：$ 函数 $f (x) = {log}_{a} x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增； $q ：$ 函数 $g (x) = x + \frac{a}{x}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的最小值大于 $4$ .

(1)、试问 $p$ 是 $q$ 的什么条件？为什么？

(2)、若命题 $p \land q$ 为假，命题 $p \lor q$ 为真，求 $a$ 的取值范围.

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19. 已知过 $M (3 ， 4)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 16 x$ 交于点 $A$ ， $B$ .

(1)、若 $M$ 为弦 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点， $P$ 为抛物线 $C$ 上的动点，求 $| P F | + | P M |$ 的最小值.

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ D A B = 60 °$ ，矩形 $B D F E$ 的面积为 $8$ ，且平面 $B D F E ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B E$ ；

(2)、求二面角 $E - A F - D$ 的正弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个顶点围成的四边形的面积为 $2 \sqrt{15}$ ，原点到直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{30}}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知定点 $P (0 ， 2)$ ，是否存在过 $P$ 的直线 $l$ ，使 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且以 $| A B |$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的左顶点？若存在，求出 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ ，（ $θ$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \\ y = \sqrt{3} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C$ 以及直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $l$ 与曲线 $C$ 相较于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ .

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > a^{2} - 3 a$ 对 $x \in R$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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