天津市蓟州等部分区2018-2019学年高三上学期理数期末联考试卷

试卷更新日期：2019-02-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ， $P = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $Q = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $P \cap^{} (C_{U} Q) =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 $S$ 的值为（）

A、8 B、4 C、 D、

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3. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{5}} ， b = {log}_{2} \frac{1}{5} ， c = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 设 $θ \in R$ ，则“ $tan θ = 1$ ”是“ $θ = \frac{π}{4}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 将函数 $f (x) = sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 具有的性质是（）

A、图象关于直线对称且最大值为1 B、图象关于点对称且周期为 C、在区间上单调递增且为偶函数 D、在区间上单调递增且为奇函数

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6. 如图，圆 $O$ 是边长为4的正方形 $A B C D$ 的内切圆， $Δ P Q R$ 是圆 $O$ 的内接正三角形，若 $Δ P Q R$ 绕着圆心 $O$ 旋转，则 $\overset{⇀}{A Q} \cdot \overset{⇀}{O R}$ 的最大值是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{1 - 2 i}{1 + i} =$ ．

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8. 在 ${(x - 2)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为用数字作答.

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9. 已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为．

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10. 已知直线 $l ： {\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ ( $t$ 为参数)与 $x$ 轴交于点 $M$ ，点 $N$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 上的任一点，则 $| M N |$ 的最大值为．

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11. 已知 $a, c \in R$ ，二次函数 $f (x) = a x^{2} + 4 x + c (x \in R)$ 的值域为 $[0, + \infty)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 的最小值为．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} - 4 x + a ， x < 1 ， \\ l n x + 1 ， x \geq 1 \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 3$ 恰有两个互异的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

13. 在 $Δ A B C$ 中， ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - sin B sin C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、求 $sin B + sin C$ 的取值范围.

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14. 4月23日是“世界读书日”，天津市某中学开展了一系列的读书教育活动，学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取10名学生参加问卷调查各组人数统计如下：

(1)、从参加问卷调查的10名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

(2)、从已抽取的甲、丙两两个小组的学生中随机抽取2人，用 $X$ 表示抽得甲组学生的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 2, b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 7$ ， $a_{3} + b_{3} = 13$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的左焦点， $T$ 为直线 $x = - 6$ 上任意一点，过点 $F$ 作 $T F$ 的垂线交 $C$ 于两点 $P, Q$ .
（ⅰ）证明: $O T$ 平分线段 $P Q$ (其中 $O$ 为坐标原点)；

（ⅱ）当 $\frac{| T F |}{| P Q |}$ 取最小值时，求点 $T$ 的坐标.

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 a x + a ln x + a + \frac{1}{2}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、记 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若不等式 $f (x) < x f^{'} (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = f (x) + 2 a$ ， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导函数，若 $g (x)$ 存在两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且满足 $g (x_{1}) + g (x_{2}) \geq g^{'} (x_{1} x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围.

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