河北省省级示范高中联合体2018-2019学年高三上学期文数12月联考试卷

试卷更新日期：2019-02-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $z = i (3 - 4 i)$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 D、

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $B = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（）

A、 $10$ B、 $12$ C、 D、

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4. 曲线 $y = x^{3} - e^{x - 1}$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线的斜率为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $tan a = 2$ ，且 $\frac{sin (a + \frac{π}{4})}{sin (a - \frac{π}{4})} = m tan 2 a$ ，则 $m =$ （）

A、 B、 C、 $\frac{4}{9}$ D、

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6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥最长的棱长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{21}$ D、

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7. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $3 sin A = 2 sin C$ ， $b = 5$ ， $cos C = - \frac{1}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 B、 C、 D、

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8. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 6 \\ - 1 \leq x \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = x - y$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ 在 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 袋子中有四个小球，分别写有“和、平、世、界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“和、平、世、界”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下24个随机数组：
232 321 230 023 123 021 132 220 011 203 331 100

231 130 133 231 031 320 122 103 233 221 020 132

由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）

A、 B、 $\frac{1}{4}$ C、 D、

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11. 设 $a = {log}_{3} 6$ ， $b = {log}_{5} 20$ ，则 ${log}_{2} 15 =$ （）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $M$ 为 $C$ 上的动点， $N (0 ， \sqrt{2} b)$ ，若 $Δ M N F$ 的周长的最大值为 $(\sqrt{6} + 2) a$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、

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二、填空题

13. 已知向量 $a$ ， $b$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $| a | = | b | = 2$ ，则 $a \cdot (a - \sqrt{2} b) =$ ．

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14. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 上的值域为．

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15. 已知直线 $l ： y = 2 \sqrt{3} x + m$ 经过双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点，且 $l$ 与 $C$ 的两条渐线分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ ．

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16. 设圆锥的顶点与底面圆周都在球 $O$ 的表面上，且该圆锥的母线与底面所成角为 $60^{\circ}$ ，圆锥的底面半径为1，则球 $O$ 的表面积为．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{2} + a_{3} = 8$ ， $S_{9} = 81$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{3}, a_{14}, S_{m}$ 成等比数列，求 $S_{2 m}$ .

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18. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，现用一种新配方做试验，生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

质量指标值	$[75 ， 85)$	$[85 ， 95)$		$[95 ， 105)$	$[105 ， 115)$		$[115 ， 125)$
频数	6	26		38	22		8
质量指标值分组			频数			频率
$[75 ， 85)$			6			0.06
$[85 ， 95)$
$[95 ， 105)$
$[105 ， 115)$
$[115 ， 125)$
合计			100			1

(1)、将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整，并补齐频率分布直方图；

(2)、估计这种产品质量指标值的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与中位数（结果精确到0.1）.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $P A = A C = 2$ ， $B C = \sqrt{7}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、设棱 $A B$ ， $B C$ 的中点分别 $E$ ， $D$ ，点 $F$ 为棱 $P A$ 上一点，若 $Δ D E F$ 为等腰直角三角形，求三棱锥 $P - C D F$ 的体积.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x + 4$ 与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、试问：在 $x$ 轴的正半轴上是否存在一点 $D$ ，使得 $Δ A B D$ 的外心在 $C$ 上？若存在，求 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由..

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a ln x$ .

(1)、当 $a > 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a < 1$ 且 $a \neq 0$ 时，若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 m ρ cos θ$ $+ 4 ρ sin θ = 1 - 2 m$ .

(1)、求 $C$ 的直角坐标方程，并求 $C$ 的半径；

(2)、当 $C$ 的半径最小时，曲线 $y = \sqrt{3} | x - 1 | - 2$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M (1, - 4)$ ，求 $Δ M A B$ 的面积.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | + | | x | - 1 |$ .

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若过点 $A (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $y = f (x)$ 的图象恰有4个交点，求 $l$ 斜率的取值范围.

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