河北省遵化市2018-2019学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-02-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在直角坐标系中，直线 $x + \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 D、 $\frac{2}{3} π$

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2. 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为 $\sqrt{2}$ ，则此球的体积为（）

A、 $\sqrt{6}$ π B、 $4 \sqrt{3}$ π C、4 $\sqrt{6}$ π D、 $6 \sqrt{3}$ π

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3. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）²+y²＝3截得的弦长等于（）

A、 B、2 C、2 D、4

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4. 已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）

A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心

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5. 已知直线L₁：ax+3y﹣3＝0，与直线L₂：4x+6y﹣1＝0平行，则a的值是（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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6. 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若l∥α，l∥β，则α∥β B、若l⊥α，l⊥β，则α∥β C、若l⊥α，l∥β，则α∥β D、若α⊥β，l∥α，则l⊥β

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7. 直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0（k∈R）所经过的定点是（）

A、（5，2） B、（2，3） C、（﹣ $\frac{1}{2}$ ，3） D、（5，9）

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8. 一个几何体的三视图及其尺寸，如图所示，则该几何体的侧面积为（）

A、80 B、40 C、48 D、96

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9. 点P（4，﹣2）与圆x²+y²=4上任一点连线的中点轨迹方程是（　　）

A、（x﹣2）²+（y+1）²=1 B、（x﹣2）²+（y+1）²=4 C、（x+4）²+（y﹣2）²=1 D、（x+2）²+（y﹣1）²=1

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10. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则 $B B_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成的角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 D、

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11. 已知圆（x﹣4）²+（y﹣4）²＝4与直线y＝kx的交点为P、Q，原点为O，则|OP|•|OQ|的值为（）

A、2 B、28 C、32 D、由k确定

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12. 在圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y = 0$ 内，过点 $E (0 ， 1)$ 的最长弦和最短弦分别为 $A C$ 和 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 C、 D、 $20 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为．

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14.
如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P为棱DC的中点，则D₁P与BC₁所在的直线所成角的余弦值等于

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15. 以圆C₁：x²＋y²－12x－2y－13＝0和圆C₂：x²＋y²＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为．

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16. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF＝ $\frac{1}{2}$ ，则下列结论中正确的序号是．

①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 2, 4), B (- 1, 1), C (3, 3)$ .

(1)、求边 $B C$ 的垂直平分线的方程；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 如图，已知圆柱底面圆的半径为 $\frac{2}{π}$ ，高为2，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线，若一支小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，求小虫爬行的最短长度．

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19. 已知圆C：（x﹣3）²+（y﹣4）²＝4，直线L₁过定点A（1，0）．若L₁与圆相切，求L₁的方程．

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20. 如图，在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．

(1)、求证：AD⊥平面BCC₁B₁；

(2)、如果点E是C₁B₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁ ．

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21. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点.

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆 $x^{2} + y^{2} - 12 x + 32 = 0$ 的圆心为Q，过点 $P (0 ， 2)$ 且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在常数k，使得向量 $\vec{O A} + \vec{O B}$ 与 $\vec{P Q}$ 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

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