河北省邢台市2018-2019学年高三上学期文数一轮摸底考试（12月)试卷

试卷更新日期：2019-02-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 9 < x \leq 1}$ ， $B = {x | - 7 < x < 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 设 $(2 - a i) (3 + i)$ 的实部与虚部相等，其中 $a$ 为实数，则 $a =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. $tan α + \frac{1}{tan α} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的离心率为2，则其实轴长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x > 0 ， \\ 2 \leq y \leq 3 ， \\ x - y \leq 4 ， \end{matrix}$ 则 $\frac{y}{x}$ 的最小值为（）

A、 B、 C、0 D、

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8. 下列函数满足 $f ({log}_{3} 2) = f ({log}_{2} 3)$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - 3}$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $sin A$ ， $sin B$ ， $sin C$ 成等比数列， $a < c$ ，且 $cos B = \frac{61}{72}$ ，则 $\frac{c}{a} =$ （）

A、 B、 $\frac{3}{2}$ C、 D、

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11. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的侧棱两两垂直， $P A = P C = 2$ ， $P B = \sqrt{3}$ ， $Q$ 为棱 $B C$ 上的动点， $A Q$ 与侧面 $P B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $tan θ$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 将函数 $f (x) = {sin}^{4} x + {cos}^{4} x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后，得到 $g (x)$ 的图像，若函数 $y = g (ω x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递减，则正数 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 1$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} =$ ．

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14. 若一个底面半径为1，高为2的圆柱的两个底面的圆周都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为．

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15. 小周公司的班车早上7点到达 $A$ 地，停留15分钟.小周在6：50至7：45之间到达 $A$ 地搭乘班车，且到达 $A$ 地的时刻是随机的，则他能赶上公司班车的概率为．

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16. 点 $P$ 在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上， $C_{1}$ 的右焦点为 $F$ ，点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 21 = 0$ 上，则 $| P Q | - | P F |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n}$ ， $2^{n}$ ， $a_{n + 1}$ 成等比数列.

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ；

(2)、求数列 ${a_{2 n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 甲、乙两人2013-2017这五年的年度体检的血压值的折线图如图所示.

（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ）

(1)、根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；

(2)、根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值 $y$ 关于年份 $x$ 的线性回归方程，并据此估计乙在2018年年度体检的血压值.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P A = A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $Δ P B C$ 为直角三角形；

(2)、设 $A$ 在平面 $P B C$ 内的射影为 $D$ ，求四面体 $A B C D$ 的体积.

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20. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C : x^{2} = 6 y$ 与直线 $l : y = k x + 3$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、当 $1 < k < 2$ 时，求 $Δ M O N$ 的面积的取值范围；

(2)、 $y$ 轴上是否在点 $P$ ，使得当 $k$ 变动时，总有 $∠ O P M = ∠ O P N$ ？若存在，求以线段 $O P$ 为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1 - a ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1})}{x_{2}} > - \frac{7}{2} - ln 2$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t + 1 \\ y = | 2 t - 1 | \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $M$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 4 ρ cos θ + 2 m ρ sin θ - m^{2}$ .

(1)、求 $C$ 和 $M$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $C$ 与 $M$ 恰有4个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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23. 设函数 $f (x) = | 3 x - a^{2} | + | 3 x - 3 | + a$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > 17$ ，求 $a$ 的取值范围.

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