备考2019年高考数学一轮专题：第25讲平面向量的数量积

试卷更新日期：2019-02-24 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为120°， $| \overset{⇀}{a} | = 3 ， | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{13}$ 则 $| \overset{⇀}{b} |$ （）

A、5 B、4 C、3 D、1

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2. 如图，在圆 $O$ 中，若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $\overset{⇀}{A O} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值等于（）

A、 B、 C、 D、 $8$

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3. 已知平面向量 $a$ ， $b$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| a | = 1$ ， $| b | = 1$ ，则 $| a - 2 b | =$ （）

A、1 B、2 C、 D、3

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4. 设向量 $\vec{a} = (x ， - 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， - x)$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $x$ 的范围为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知平面向量 $\vec{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2 ， | \overset{⇀}{b} | = 1$ ，且 $(4 \vec{a} - \overset{⇀}{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \overset{⇀}{b}) = 2$ ，则向量 $\vec{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ 为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、

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6. 已知a ， b ， e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，向量b满足b²−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ −1 B、 $\sqrt{3}$ +1 C、2 D、2− $\sqrt{3}$

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7. 下列说法正确的是（）

A、若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 共线，则 $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{b}$ 或者 $\overset{⇀}{a} = - \overset{⇀}{b}$ B、若 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{c}$ C、若 $△ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $2 \overset{⇀}{A P} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}$ ，则点 $P$ 为 $B C$ 中点 D、若 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ 为单位向量，则 $\overset{⇀}{e_{1}} = \overset{⇀}{e_{2}}$

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8. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， k)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 1 ， 2)$ ，满足 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $4$ D、 $0$

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9. 平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\overset{⇀}{a} = (2 ， 0)$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、7

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10. 在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120^{°} ，$ 则 $\overset{⇀}{A C}$ 在 $\overset{⇀}{A B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A D} = 0$ ， $| \overset{⇀}{A C} | = 3 ， | \overset{⇀}{B D} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{D C} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知向量 $\vec{a} = (m - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， - 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $2$ 或 $- 3$ B、 $- 2$ 或 $3$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $3$

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二、填空题

13. 等边△ABC中，边长为2，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ =

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，A为直线 $l ： y = 2 x$ 上在第一象限内的点， $B (5 ， 0)$ ，以AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l交于另一点D．若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{C D} = 0$ ，则点A的坐标为

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15. 若 $e_{1} ， e_{2}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的两个单位向量， $a = 2 e_{1} + e_{2} ， b = - 3 e_{1} + 2 e_{2}$ ，则 $a ， b$ 的夹角为．

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16. 在△ABC中，CA=2CB=2， $\overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{C B} = - 1$ ，O是△ABC的外心，若 $\overset{⇀}{C O}$ =x $\overset{⇀}{C A}$ +y $\overset{⇀}{C B}$ ，则x+y= ．

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17. 已知两不共线的非零向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角的最大值是.

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18. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ， $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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三、解答题

19. 设两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ .

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ，求 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 的夹角.

(2)、若 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 夹角为 $60^{\circ}$ ，向量 $2 t \vec{a} + 7 \vec{b}$ 与 $\vec{a} + t \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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20. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ = (1，2sinθ)， $\overset{⇀}{b}$ = (sin(θ+ $\frac{π}{3}$ )，1)，θ $\in$ R。

(1)、若 $\overset{⇀}{a}$ ⊥ $\overset{⇀}{b}$ ，求 tanθ的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{a}$ ∥ $\overset{⇀}{b}$ ，且 θ $\in$ (0， $\frac{π}{2}$ )，求 θ的值

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21. 已知向量 $\vec{a} = (λ, 3), \vec{b} = (- 2, 4)$ .

(1)、若 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求 $λ$ ；

(2)、若 $λ = 4$ ，求向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影.

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22.

(1)、已知 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (- 3 ， 4)$ ，求 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ ；

(2)、已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} 与 \vec{b}$ 的夹角为 $120^{0}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

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23. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， 1)$ ．
（Ⅰ）分别求 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ， $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ 的值；
（Ⅱ）当 $λ$ 为何值时， $\overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 垂直？

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二、填空题

三、解答题

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