备考2019年高考数学一轮专题：第23讲平面向量的概念及线性运算

试卷更新日期：2019-02-24 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 4$ ， $| \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} | \geq 10$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b} |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图所示，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ， $E$ 为 $A O$ 的中点，若 $\overset{⇀}{D E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A D}$ （ $λ$ 、 $μ$ 为实数），则 $λ^{2} + μ^{2}$ $=$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $1$ D、 $\frac{5}{16}$

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3. 如果向量 $\overset{⇀}{a}$ ＝(k，1)与 $\overset{⇀}{b}$ ＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为（）

A、－3 B、2 C、－ D、

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4. 在△ABC中， $\overset{⇀}{B D} = \overset{⇀}{D C} ， \overset{⇀}{A P} = \overset{⇀}{P D}$ ，且 $\overset{⇀}{B P} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ$ ＝（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是不共线的两个向量，已知 $\vec{B A} = \vec{a} + 2 \vec{b} ， \vec{B C} = 4 \vec{a} - 4 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = - \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则（）

A、 $A 、 B 、 D$ 三点共线 B、 $B 、 C 、 D$ 三点共线 C、 $A 、 B 、 C$ 三点共线 D、 $A 、 C 、 D$ 三点共线

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6. 已知 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ，下列向量中，与 $\vec{a}$ 反向的单位向量是（）

A、 $（ - \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ B、 $（ \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ C、 $（ - \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2} ）$ D、 $（ \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ）$

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7. 下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\overset{⇀}{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\overset{⇀}{e_{2}} = (1, 2)$ B、 $\overset{⇀}{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\overset{⇀}{e_{2}} = (5, 7)$ C、 $\overset{⇀}{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\overset{⇀}{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\overset{⇀}{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\overset{⇀}{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

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8. 下列说法中：
⑴若 $\vec{a}$ 是单位向量， $\vec{b}$ 也是单位向量，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或相反；
⑵若向量 $\vec{A B}$ 是单位向量，则向量 $\vec{B A}$ 也是单位向量；
⑶两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
正确的个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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9. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\overset{⇀}{A B} · \overset{⇀}{A C} = 7 ， | \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} | = 6$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $24$ B、 $16$ C、 $12$ D、 $8 \sqrt{3}$

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10. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $\overset{⇀}{A B} =$ $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{B C} =$ $\overset{⇀}{b}$ ，则 $| \frac{\overset{⇀}{a}}{2} + \overset{⇀}{b} |$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

11. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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12. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 - m, - 2), \overset{⇀}{b} = (5, m - 4)$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ 且方向相反，则 $m =$ .

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13. 与向量 $\overset{⇀}{a} = (12 ， - 5)$ 反向的单位向量 $\overset{⇀}{e}$ ＝。

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14. 如图，在梯形ABCD中， $\overset{⇀}{D C} = 2 \overset{⇀}{A B}$ ，P为线段CD上一点，且 $\overset{⇀}{D C} = 3 \overset{⇀}{P C}$ ，E为BC的中点，若 $\overset{⇀}{E P} = λ_{1} \overset{⇀}{A B} + λ_{2} \overset{⇀}{A D} (λ_{1} ， λ_{2} \in R)$ ，则 $λ_{1} + λ_{2}$ 的值为．

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15. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，则 $\overset{⇀}{A B} • (\overset{⇀}{A C} + \overset{⇀}{A D}) =$ .

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16. 若向量 $a$ ， $b$ 满足 $| a | = 8$ ， $| b | = 12$ ，则 $| a + b |$ 的最小值是．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形，把各边三等分后，共有 $16$ 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与 $\vec{A C}$ 平行且长度为 $2 \sqrt{2}$ 的向量有个．

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三、解答题

18. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边， $2 a c o s B + b = 2 c$ ， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 4$ .

(1)、求 $S_{Δ A B C}$ ；

(2)、若 $D 是 B C$ 的中点， $A D = \sqrt{7}$ ，求 $b$ ， $c$ .

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19. 已知 $O$ ， $A$ ， $B$ 是不共线的三点，且 $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{O A} + n \overset{⇀}{O B} (m ， n \in R)$ .

(1)、若 $m + n = 1$ ，求证： $A$ ， $P$ ， $B$ 三点共线；

(2)、若 $A$ ， $P$ ， $B$ 三点共线，求证： $m + n = 1$ .

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20. 已知 $\overset{⇀}{i} ， \overset{⇀}{j}$ 是互相垂直的两个单位向量， $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{i} + 2 \overset{⇀}{j} ， \overset{⇀}{b} = - 3 \overset{⇀}{i} + 2 \overset{⇀}{j}$ $.$
（Ⅰ）求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值；
（Ⅱ）当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 共线.

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21. 如图所示，以向量 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}$ 为边作平行四边形 $O A D B$ ，又 $\overset{⇀}{B M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{B C}$ ， $\overset{⇀}{C N} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{C D}$ ，用 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 表示 $\overset{⇀}{O M} ， \overset{⇀}{O N} ， \overset{⇀}{M N}$ .

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22. 设两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ .

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ，求 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 的夹角.

(2)、若 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 夹角为 $60^{\circ}$ ，向量 $2 t \vec{a} + 7 \vec{b}$ 与 $\vec{a} + t \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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23. 四边形 $A B C D$ 中， $\overset{⇀}{A B} = (6 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{B C} = (x ， y)$ ， $\overset{⇀}{C D} = (- 2 ， - 3)$ ， $\overset{⇀}{B C} / / \overset{⇀}{D A}$ .

(1)、求 $x$ 与 $y$ 的关系式；

(2)、若 $\overset{⇀}{A C} ⊥ \overset{⇀}{B D}$ ，求 $x$ 、 $y$ 的值以及四边形 $A B C D$ 的面积.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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