2017年河北省石家庄市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁_UB=（）

A、{1，2} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣3，﹣2，﹣1，0} D、{2}

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2. 在复平面中，复数 $\frac{1}{{(1 + i)}^{2} + 1}$ +i⁴对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若sin（π﹣α）= $\frac{1}{3}$ ，且 $\frac{π}{2}$ ≤α≤π，则sin2α的值为（）

A、﹣ $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、﹣ $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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5. 执行如图的程序框图，则输出K的值为（）

A、98 B、99 C、100 D、101

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6. 李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）

A、10步、50步 B、20步、60步 C、30步、70步 D、40步、80步

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、16 B、20 C、52 D、60

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8. 已知函数f（x）=sin（2x+ $\frac{π}{12}$ ），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）

A、[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{7 π}{12}$ ] B、[﹣ $\frac{5 π}{12}$ ， $\frac{π}{12}$ ] C、[﹣ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{2 π}{3}$ ] D、[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{5 π}{6}$ ]

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9. 若a=2 $\int_{- 3}^{3}$ （x+|x|）dx，则在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{a}$ 的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）

A、13项 B、14项 C、15项 D、16项

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10. 在平面直角坐标系中，不等式组 ${\begin{matrix} x + y \leq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x^{2} + y^{2} \leq r^{2} \end{matrix}$ （r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z= $\frac{x + y + 1}{x + 3}$ 的最小值为（）

A、﹣1 B、﹣ $\frac{5 \sqrt{2} + 1}{7}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、﹣ $\frac{7}{5}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，过点F₁且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF₂、BF₂分别交y轴于P、Q两点，若△PQF₂的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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12. 已知函数f（x）=e^2x﹣ax²+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）

A、（e²﹣3，e²+1） B、（e²﹣3，+∞） C、（﹣∞，2e²+2） D、（2e²﹣6，2e²+2）

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二、填空题

13. 设样本数据x₁ ， x₂ ， …，x₂₀₁₇的方差是4，若y_i=2x_i﹣1（i=1，2，…，2017），则y₁ ， y₂ ， …y₂₀₁₇的方差为．

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14. 在平面内将点A（2，1）绕原点按逆时针方向旋转 $\frac{3 π}{4}$ ，得到点B，则点B的坐标为．

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15. 设二面角α﹣CD﹣β的大小为45°，A点在平面α内，B点在CD上，且∠ABC=45°，则AB与平面β所成角的大小为．

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16. 非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足| $\vec{n}$ |=λ| $\vec{m}$ |（λ＞0），向量组 $\vec{x_{1}}$ ， $\vec{x_{2}}$ ， $\vec{x_{3}}$ 由一个 $\vec{m}$ 和两个 $\vec{n}$ 排列而成，向量组 $\vec{y_{1}}$ ， $\vec{y_{2}}$ ， $\vec{y_{3}}$ 由两个 $\vec{m}$ 和一个 $\vec{n}$ 排列而成，若 $\vec{x_{1}}$ • $\vec{y_{1}}$ + $\vec{x_{2}}$ • $\vec{y_{2}}$ + $\vec{x_{3}}$ • $\vec{y_{3}}$ 所有可能值中的最小值为4 $\vec{m}$ ² ，则λ= ．

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S_m_﹣₁=﹣4，S_m=0，S_m₊₂=14（m≥2，且m∈N^*）
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足 $\frac{a_{n}}{2}$ =log₂b_n（n∈N⁺），求数列{（a_n+6）•b_n}的前n项和．

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18. 如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE= $\frac{π}{3}$ ，BC= $\frac{\sqrt{21}}{2}$ ，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM= $\frac{1}{4}$ CF．
（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．

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19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：

交强险浮动因素和浮动费率比率表
	浮动因素	浮动比率
A₁	上一个年度未发生有责任道路交通事故	下浮10%
A₂	上两个年度未发生有责任道路交通事故	下浮20%
A₃	上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故	下浮30%
A₄	上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故	0%
A₅	上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故	上浮10%
A₆	上一个年度发生有责任道路交通死亡事故	上浮30%

某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅	A₆
数量	10	5	5	20	15	5

以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）

（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；

②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．

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20. 设M、N、T是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上三个点，M、N在直线x=8上的射影分别为M₁、N₁ ．

（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k₁ ， k₂ ，求证k₁k₂为定值．
（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M₁N₁L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．

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21. 已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）= $\frac{x}{x + 1}$ （x＞﹣1）．
（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．

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四、选做题

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a + a \cos β \\ y = a \sin β \end{matrix}$ （a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣ $\frac{π}{3}$ ）= $\frac{3}{2}$ ．
（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；
（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB= $\frac{π}{3}$ ，求△OAB的面积最大值．

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23. 设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若a²+2c²+3b²=m，求ab+2bc的最大值．

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