2017年河北省邯郸市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）

A、（2，3] B、[2，3] C、（2，3） D、[2，3）

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2. 已知a，b∈R，i为虚数单位，当a+bi=i（1﹣i）时，则 $\frac{a + b i}{a - b i}$ =（）

A、i B、﹣i C、1+i D、1﹣i

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=3，（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）• $\vec{a}$ =7，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y= $\frac{c}{b}$ x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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5. 已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD= $\sqrt{7}$ ，AB=2，则S_△_ABC=（）

A、3 B、2 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{3}$ D、6

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6. 从5种主料职工选2种，8种辅料中选3种烹制菜肴，烹制方式有5种，那么最多可以烹制出不同的菜肴种数为（）

A、18 B、200 C、2800 D、33600

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）

A、8 B、13 C、21 D、34

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8. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，则过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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9. 设{a_n}是公差为2的等差数列，b_n=a $_{2^{n}}$ ，若{b_n}为等比数列，则b₁+b₂+b₃+b₄+b₅=（）

A、142 B、124 C、128 D、144

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10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{9 + \sqrt{3}}{6}$ π B、 $\frac{6 + \sqrt{3}}{6}$ π C、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ π D、 $\frac{12 + \sqrt{3}}{6}$ π

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11. 已知棱长为 $\sqrt{6}$ 的正四面体ABCD（四个面都是正三角形），在侧棱AB上任取一点P（与A，B都不重合），若点P到平面BCD及平面ACD的距离分别为a，b，则 $\frac{4}{a}$ + $\frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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12. 设f（x）=e^x ， f（x）=g（x）﹣h（x），且g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，若存在实数m，当x∈[﹣1，1]时，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，则m的最小值为（）

A、 $\frac{e^{2} - 1}{e^{2} + 1}$ B、 $\frac{2}{e^{2} + 1}$ C、 $\frac{e^{2} + 1}{e^{2} - 1}$ D、 $\frac{1 - e^{2}}{1 + e^{2}}$

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二、填空题.

13. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \frac{1}{5 - x} ， x \leq 0 \\ \log_{4} x ， x > 0 \end{matrix}$ ，则f[f（﹣3）]=

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14. 已知函数f（x）=ax+b，0＜f（1）＜2，﹣1＜f（﹣1）＜1，则2a﹣b的取值范围是．

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15. 已知三个命题p，q，m中只有一个是真命题，课堂上老师给出了三个判断：
A：p是真命题；B：p∨q是假命题；C：m是真命题．
老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的，那么三个命题p，q，m中的真命题是．

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16. 已知点A（a，0），点P是双曲线C： $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣y²=1右支上任意一点，若|PA|的最小值为3，则a= ．

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三、解答题

17. 已知a，b分别是△ABC内角A，B的对边，且bsin²A= $\sqrt{3}$ acosAsinB，函数f（x）=sinAcos²x﹣sin² $\frac{A}{2}$ sin 2x，x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．

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18. 如图，在五棱锥P﹣ABCDE中，△ABE是等边三角形，四边形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中点，点P在底面的射影落在线段AG上．
（Ⅰ）求证：平面PBE⊥平面APG；
（Ⅱ）已知AB=2，BC= $\sqrt{3}$ ，侧棱PA与底面ABCDE所成角为45°，S_△_PBE= $\sqrt{3}$ ，点M在侧棱PC上，CM=2MP，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．

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19. 某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如图柱状图．
（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有1名学生的打分不低于4分的概率；
（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X表示两人打分之和，求X的分布列和E（X）．
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的计算结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如表所示，设当月奖金为Y（单位：元），求E（Y）．
服务质量评分X
X≤5
6≤X≤8
X≥9
等级
不好
较好
优良
奖惩标准（元）
﹣1000
2000
3000

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20. 已知F为抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点，直线l：y=kx+ $\frac{p}{2}$ 交抛物线E于A，B两点．
（Ⅰ）当k=1，|AB|=8时，求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过点A，B作抛物线E的切线l₁ ， l₂ ，且l₁ ， l₂交点为P，若直线PF与直线l斜率之和为﹣ $\frac{3}{2}$ ，求直线l的斜率．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣alnx（a＞0）的最小值是1．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若关于x的方程f²（x）e^x﹣6mf（x）+9me^﹣^x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m的取值范围．

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁ ， C₂的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）= $\sqrt{2}$ ．

（Ⅰ）求C₁和C₂交点的极坐标；
（Ⅱ）直线l的参数方程为： ${\begin{matrix} x = - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C₁交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

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23. [选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）=|ax﹣2|．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＞x+1；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）＜ $\frac{1}{m}$ 有实数解，求m的取值范围．

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服务质量评分X	X≤5	6≤X≤8	X≥9
等级	不好	较好	优良
奖惩标准（元）	﹣1000	2000	3000