2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）

A、{0，1} B、{0，1，2} C、{﹣1，0，1} D、{﹣1，0，1，2}

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2. 已知向量 $\vec{B A}$ =（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ）， $\vec{B C}$ =（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ），则∠ABC=（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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3. 已知 $a = 2^{- \frac{1}{3}}$ ， $b = {(2^{\log_{2} 3})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \sin x d x$ ，则实数a，b，c的大小关系是（）

A、a＞c＞b B、b＞a＞c C、a＞b＞c D、c＞b＞a

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4. 设i为虚数单位，则（x+i）⁶的展开式中含x⁴的项为（）

A、﹣15x⁴ B、15x⁴ C、﹣20ix⁴ D、20ix⁴

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5.
已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）

附：若Z～N（μ，σ²），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．

A、6038 B、6587 C、7028 D、7539

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6. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} - 3 x ， x \leq 0 \\ - 2 x + 1 ， x > 0 \end{matrix}$ ，则f（x）的最大值是（）

A、0 B、2 C、1 D、3

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7. 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）

A、30m B、40m C、 $40 \sqrt{3}$ m D、 $40 \sqrt{2}$ m

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8. 设p：实数x，y满足（x﹣1）²+（y﹣1）²≤2，q：实数x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq x - 1 \\ y \geq 1 - x \\ y \leq 1 \end{matrix}$ ，则p是q的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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11. 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x³﹣x²+a）+f（﹣x³+x²﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、[ $\frac{23}{27}$ ，1] B、[﹣ $\frac{23}{27}$ ，1] C、[1，3] D、（﹣∞，1]

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12. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ $\frac{π}{2}$ ），x=﹣ $\frac{π}{4}$ 为f（x）的零点，x= $\frac{π}{4}$ 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ $\frac{π}{18}$ ， $\frac{5 π}{36}$ ）上单调，则ω的最大值为（）

A、11 B、9 C、7 D、5

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二、填空题

13.
如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．

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14. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．

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15. 用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．

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16. 定义“规范01数列”{a_n}如下：{a_n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a₁ ， a₂…a_k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁ ， t₂ ， …，t_k}，定义S_T= $a_{t_{1}}$ + $a_{t_{2}}$ +…+ $a_{t_{k}}$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆ ．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k₊₁；

(3)、设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D ，求证：S_C+S_C_∩_D≥2S_D ．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= $\frac{1}{2}$ AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．

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19. 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i}$ =9.32， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i}$ =40.17， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ =0.55， $\sqrt{7}$ ≈2.646．
参考公式：相关系数r= $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ 回归方程 $\hat{y}$ = $\hat{a}$ + $\hat{b}$ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a}$ = $\hat{y}$ ﹣ $\hat{b}$ $\bar{t}$ ．

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上两个不同的点A，B关于直线y=mx+ $\frac{1}{2}$ 对称．

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

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21. 已知f（x）=e $^{\frac{x}{2}}$ ﹣ $\frac{x}{4}$ ，其中e为自然对数的底数．

(1)、设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；

(2)、若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos β \\ y = \sin β \end{matrix}$ （β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）将曲线C₁的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （ $\frac{π}{2}$ ＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C₁交与点A，l与C₂交与点B，且|AB|= $\sqrt{3}$ ，求α的值．

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23. [选修4-5：不等式选讲]

已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥a²﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证： $\sqrt{2 m + 1} + \sqrt{2 n + 1} \leq 2 \sqrt{f (x)}$ ．

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