2017年北京市海淀区高考数学零模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-19 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合M={x|x²=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）

A、{﹣1，0，1} B、{0，1} C、{1} D、{0}

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2. 下列函数中为偶函数的是（）

A、y=x²sinx B、y=2^﹣^x C、y= $\frac{\sin x}{x}$ D、y=|log_0.5x|

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3. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）

A、1 B、3 C、7 D、15

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4. 在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）

A、θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B、θ= $\frac{π}{2}$ （ρ∈R）和ρcosθ=2 C、θ= $\frac{π}{2}$ （ρ∈R）和ρcosθ=1 D、θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1

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5. 设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 为两个非零向量，则“ $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =| $\vec{a}$ • $\vec{b}$ |”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设不等式组 ${\begin{matrix} 3 x + y - 10 \geq 0 \\ x + 3 y - 6 \leq 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域为D，若函数y=log_ax（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）

A、（1，3] B、[3，+∞） C、（1，2] D、[2，+∞）

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数f（x）满足如下条件：①任意x∈R，有f（x）+f（﹣x）=0成立；②当x≥0时，f（x）= $\frac{1}{2}$ （|x﹣m²|+|x﹣2m²|﹣3m²）；③任意x∈R，有f（x）≥f（x﹣1）成立．则实数m的取值范围（）

A、 $[- \frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{6}}{6}]$ B、 $[- \frac{1}{6} ， \frac{1}{6}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3}]$

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二、填空题

9. 复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．

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10. 抛物线y²=8x的焦点到双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线的距离是．

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11. 在锐角△ABC中，角A、B所对的边长分别为a、b，若2asinB= $\sqrt{3}$ b，则角A等于．

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12. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足S_n=2a_n﹣2，若数列{b_n}满足b_n=10﹣log₂a_n ，则使数列{b_n}的前n项和取最大值时的n的值为．

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13. 小明、小刚、小红等5个人排成一排照相合影，若小明与小刚相邻，且小明与小红不相邻，则不同的排法有种．

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14. 已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为2，长度为2的线段MN的一个端点M在棱DD₁上运动，另一个端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点的轨迹与正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的表面所围成的较小的几何体的体积等于．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = 4 \cos ω x \cdot \sin (ω x + \frac{π}{4})$ （ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

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16. 如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= $\frac{1}{2}$ CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．
（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．

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17. 某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润ξ₁（万元）的概率分布列如表所示：
ξ₁
110
120
170
P
m
0.4
n
且ξ₁的期望E（ξ₁）=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ₂（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1﹣p．若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与ξ₂的关系如表所示：
X
0
1
2
ξ₂
41.2
117.6
204.0
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）求ξ₂的分布列；
（Ⅲ）若该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润，求p的取值范围．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和长轴长；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，P为直线x=﹣3上任意一点，过点F作直线PF的垂线交椭圆C于M，N，记d₁ ， d₂分别为点M和N到直线OP的距离，证明：d₁=d₂ ．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=kx相切于点P，求点P的坐标；
（Ⅱ）当a≤e时，证明：当x∈（0，+∞），f（x）≥a（x﹣lnx）．

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20. 已知数集A={a₁ ， a₂ ， …，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n ， n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），∃i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a_n≤2a₁+a₂+…+a_n_﹣₁（n≥2）；
（Ⅲ）若a_n=72，求数集A中所有元素的和的最小值．

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ξ₁	110	120	170
P	m	0.4	n

X	0	1	2
ξ₂	41.2	117.6	204.0