2019年高考数学二轮复习专题08：复数、推理与证明

试卷更新日期：2019-02-21 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下面使用类比推理恰当的是（）

A、“若 $a \cdot 3 = b \cdot 3$ ，则 $a = b$ ”类推出“若 $a \cdot 0 = b \cdot 0$ ，则 $a = b$ ” B、“若 $(a + b) c = a c + b c$ ”类推出“ $(a \cdot b) c = a c \cdot b c$ ” C、“若 $(a + b) c = a c + b c$ ” 类推出“ $\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ $(c \neq 0)$ ” D、“ ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ ” 类推出“ ${(a + b)}^{n} = a^{n} + b^{n}$ ”

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2. 下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）

A、平面内的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ .类比推出：空间中的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a ⊥ c ， b ⊥ c$ ，则 $a / / b$ B、平面内的三条直线 $a ， b ， c$ ，若 $a / / c ， b / / c$ ，则 $a / / b$ .类比推出：空间中的三条向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{c}$ ，若 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{c}$ C、在平面内，若两个正三角形的边长的比为 $\frac{1}{2}$ ，则它们的面积比为 $\frac{1}{4}$ .类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 $\frac{1}{2}$ ，则它们的体积比为 $\frac{1}{4}$ D、若 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则复数 $a + b i = c + d i \Rightarrow a = c ， b = d$ .类比推理：“若 $a ， b ， c ， d \in Q$ ，则 $a + b \sqrt{2} = c + d \sqrt{2} \Rightarrow a = c ， b = d$ ”

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3. i为虚数单位， $\frac{i^{3} (i + 1)}{i - 1} =$ （）

A、i B、 C、1 D、

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4. 若复数 $z = \frac{2 + i}{i^{}}$ ，则复数z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 已知复数 $z_{1} = 1 + a i$ ， $z_{2} = 3 + 2 i$ ， $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位，若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是实数，则 $a =$

A、 B、 C、 D、

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6. 复数 $z = {(1 + i)}^{2} + \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z}$ =（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知甲、乙、丙三人中，一人是公务员，一人是医生，一人是教师.若丙的年龄比教师的年龄大；甲的年龄和医生的年龄不同；医生的年龄比乙的年龄小，则下列判断正确的是（）

A、甲是公务员，乙是教师，丙是医生 B、甲是教师，乙是公务员，丙是医生 C、甲是教师，乙是医生，丙是公务员 D、甲是医生，乙是教师，丙是公务员

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8. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称，若 $z_{1} = \frac{1 + 3 i}{1 - i}$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 等于（）

A、4i B、 C、2 D、

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9. 复数z满足 $z = \frac{1 + i}{1 + 2 i} + \frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$ ，则 $| z | = ($ $)$

A、 B、2 C、 D、

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10. 设 $a \in R$ ，复数 $z = \frac{a - i}{3 + i}$ ( $i$ 是虚数单位)的实部为 $2$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若 ${(1 + 3 x)}^{n}$ 的二项展开式各项系数和为 $256$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 ${(1 + i)}^{n}$ 的运算结果为（）

A、 $- 16$ B、 $16$ C、 $- 4$ D、 $4$

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二、填空题

12. 学校艺术节对同一类的 $A, B, C, D$ 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:
甲说：“ $A$ 作品获得一等奖”；乙说：“ $C$ 作品获得一等奖”

丙说：“ $B, D$ 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是 $A$ 或 $D$ 作品获得一等奖”

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．

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13. 当 $x \in R^{+}$ 时，可以得到不等式 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ ， $x + \frac{4}{x^{2}} = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{4}{x^{2}} \geq 3$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ，由此可以推广为 $x + \frac{P}{x^{n}} \geq n + 1$ ，则 $P =$

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数 $n$ ，记集合 ${x | x = a_{i} + a_{j} ， i \in N ， j \in N ， 1 \leq i < j \leq n}$ 的元素个数为 $c_{n}$ ，把 ${c_{n}}$ 的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为．

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15. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 $x$ ， $y$ ， $z$ ，则 ${\begin{matrix} x + y + z = 100 ， \\ 5 x + 3 y + \frac{1}{3} z = 100 ， \end{matrix}$ 当 $z = 81$ 时， $x =$ ， $y =$ ．

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16. 已知 $n \in N$ ，用数学归纳法证明： $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times \dots \times (2 n - 1)$ 时，从“ $k$ 到 $k + 1$ ”左边需增加的代数式是.

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17. i是虚数单位，复数 $\frac{6 + 7 i}{1 + 2 i}$ = ．

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三、解答题

18. 设 $λ > 0$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = λ$ ， $a_{n} = \frac{λ n a_{n - 1}}{a_{n - 1} + 2 n - 2}$ $(n \geq 2)$ .
（Ⅰ）当 $λ = 2$ 时，求证：数列 ${\frac{n}{a_{n}}}$ 为等差数列并求 $a_{n}$ ；
（Ⅱ）证明：对于一切正整数 $n$ ， $a_{n} \leq \frac{λ^{n + 1}}{2^{n + 1}} + 1$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = a x - ln x (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明 $\frac{1}{ln x_{1}} + \frac{1}{ln x_{2}} > 2$ .

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20. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证: $0 < a_{1} < 1$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} \leq \frac{1}{n + 2}$ ；

(2)、求证: $\sum_{i = 2}^{n} a_{i} < ln (n + 1)$ .

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