2019年高考数学二轮复习专题07：计数原理、程序框图、概率与统计

试卷更新日期：2019-02-21 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 设不等式组 ${\begin{matrix} 0 \leq x \leq 1 \\ 0 \leq y \leq 1 \end{matrix}$ 表示的平面区域为 $D$ ，在区域 $D$ 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图所示的阴影部分是由 $x$ 轴及曲线 $y = sin x$ 围成，在矩形区域 $O A B C$ 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）

A、 B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、

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3. 下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y=0.8x-155，后因某未知原因第五组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如下所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（）

x

196

197

200

203

204

y

1

3

6

7

m

A、8.3 B、8 C、8.1 D、8.2

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4. 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 C、 D、 $\frac{2}{π}$

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5. 如图， $B$ 是 $A C$ 上一点，分别以 $A B ， B C ， A C$ 为直径作半圆．从 $B$ 作 $B D ⊥ A C$ ，与半圆相交于 $D$ ． $A C = 6 ， B D = 2 \sqrt{2}$ ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 利用随机模拟方法可估计无理数 $π$ 的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand（）表示产生区间(0，1)上的随机数， $P$ 是 $s$ 与 $n$ 的比值，执行此程序框图，输出结果 $P$ 的值趋近于（）

A、 B、 C、 D、

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7. 一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在区间 $[0 ， π]$ 上随机取一个数 $x$ ，则事件“ $sin x + cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 C、 D、 $\frac{2}{3}$

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9. 记函数 $f (x) = \sqrt{12 - x - x^{2}}$ 的定义域为D，在区间 $[- 5 ， 5]$ 上随机取一个实数x，则 $x \in D$ 的概率是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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10. 为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度 $($ 单位长度： $c m)$ ，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）

A、甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B、甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C、乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D、乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐

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二、填空题

11. 现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为．

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12. ${(3 x - \frac{\sqrt{x}}{2})}^{8}$ 的二项展开式中 $x^{4}$ 的系数是．（用数字作答）

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13. 若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为．

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14. 假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请写出第3支疫苗的编号.（下面摘取了随机数表第7行至第9行）
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25   83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07   44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42   99 66 02 79 54

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15. 若随机变量ξ～N(2，1)，且 $P (ξ \geq 1) = 0.8413$ ，则 $P (ξ \geq 3)$ ＝.

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16. 某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号为第1组，6～10号为第2组，…，196～200号为第40组)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码是 $a$ ．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 $b$ 人，则 $a + b =$ ．

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17. 某校早上8∶00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为．（用数字作答）

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18. 已知 $M = {(x ， y) | | x | < 2 ， | y | \leq 2}$ ，点P的坐标为 $(x ， y)$ ，则当 $P \in M$ 时，且满足 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} \geq 4$ 的概率为．

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19. 以下四个命题，其中正确的序号是。
①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样。②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。

③在线性回归方程 $\hat{y} = 0.2 x + 12$ 中，当解释变量 $x$ 每增加一个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 平均增加0.2个单位。④分类变量 $X$ 与 $Y$ ，它们的随机变量 $K^{2}$ 的观测值为 $k$ ，当 $k$ 越小，“ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握程度越大。

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20. 从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为 $($ 单位： $g)$ ：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496

497 503 506 508 507 492 496 500 501 499

根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 $497.5 g ～ 501.5 g$ 之间的概率约为．

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三、解答题

21. 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示：

组别	一	二	三	四	五
候车时间（分钟）	$[0 ， 5)$	$[5 ， 10)$	$[10 ， 15)$	$[15 ， 20)$	$[20 ， 25]$
人数	2	6	4	2	1

(1)、估计这15名乘客的平均候车时间；

(2)、估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；

(3)、若从上表第三，四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率。

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22. 某工厂生产的某产品按照每箱10件包装，每箱产品在流入市场之前都要检验.若整箱产品检验不通过，除去检验费用外，每箱还要损失100元.检验方案如下：
第一步，一次性随机抽取2件，若都合格则整箱产品检验通过；若都不合格则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若抽取的2件产品有且仅有1件合格，则进行第二步工作.

第二步，从剩下的8件产品中再随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，检验结束，剩下的产品不再检验.若合格，则进行第三步工作.

第三步，从剩下的7件产品中随机抽取1件，若不合格，则整箱产品检验不通过，若合格，则整箱产品检验通过，检验结束，剩下的产品都不再检验.

假设某箱该产品中有8件合格品，2件次品.

（Ⅰ）求该箱产品被检验通过的概率；

（Ⅱ）若每件产品的检验费用为10元，设该箱产品的检验费用和检验不通过的损失费用之和为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ .

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23. 某市统计局就2015年毕业大学生的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图所示，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示 $[2000 ， 2500)$ ．

(1)、求毕业大学生月收入在 $[4000 ， 4500)$ 的频率；

(2)、根据频率分别直方图算出样本数据的中位数；

(3)、为了分析大学生的收入与所学专业、性别等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在 $[3500 ， 4000)$ 的这段应抽取多少人？

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24. 如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图 $.$ 空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染 $.$ 某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

$($ Ⅰ $)$ 求此人到达当日空气质量优良的概率；

$($ Ⅱ $)$ 求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

$($ Ⅲ $)$ 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？ $($ 结论不要求证明 $)$

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25. 随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司

M

的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：

参考公式：回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率

y

与月份代码

x

之间的关系，求

y

关于

x

的线性回归方程，并预测

M

公司2017年4月的市场占有率；

(2)、为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为

1000

元/辆和1200元/辆的

A

、

B

两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：

寿命

车型

1年

2年

3年

4年

总计

100

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是 $M$ 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

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x	196	197	200	203	204
y	1	3	6	7	m