2019年高考数学二轮复习专题05：平面向量

试卷更新日期：2019-02-21 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为120°， $| \overset{⇀}{a} | = 3 ， | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{13}$ 则 $| \overset{⇀}{b} |$ （）

A、5 B、4 C、3 D、1

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2. 如图，在圆 $O$ 中，若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $\overset{⇀}{A O} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 的值等于（）

A、 B、 C、 D、 $8$

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3. $Δ A B C$ 中，已知点 $D$ 为 $A B$ 边上一点，若 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{C D} = \frac{1}{3} \vec{C A} + λ \vec{C B}$ ，则 $λ =$ （）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在平面四边形ABCD中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ， $A B = A D = 1$ . 若点E为边CD上的动点，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B E}$ 的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图所示，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ， $E$ 为 $A O$ 的中点，若 $\overset{⇀}{D E} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A D}$ （ $λ$ 、 $μ$ 为实数），则 $λ^{2} + μ^{2}$ $=$ （）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $1$ D、 $\frac{5}{16}$

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6. 在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{C M} = 2 \overset{⇀}{M B}$ ， $\overset{⇀}{A N} + \overset{⇀}{C N} = \overset{⇀}{0}$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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7. 若向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{3}$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $2 \vec{a} + 3 \vec{b} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $2 \sqrt{3}$ ，平面 $A B C$ 内的动点 $P ， M$ 满足 $| \overset{⇀}{A P} | = 1$ ， $\overset{⇀}{P M} = \overset{⇀}{M C}$ ，则 ${| \overset{⇀}{B M} |}^{2}$ 的最大值是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $Δ A B C$ 中， $A B = 10$ , $A C = 6$ , $B C = 8$ , $M$ 为AB边上的中点，则 $\vec{C M} \cdot \vec{C A} + \vec{C M} \cdot \vec{C B} =$ （）

A、0 B、25 C、50 D、100

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二、填空题

11. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ．

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12. 若 $e_{1} ， e_{2}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的两个单位向量， $a = 2 e_{1} + e_{2} ， b = - 3 e_{1} + 2 e_{2}$ ，则 $a ， b$ 的夹角为．

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13. 在△ABC中，CA=2CB=2， $\overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{C B} = - 1$ ，O是△ABC的外心，若 $\overset{⇀}{C O}$ =x $\overset{⇀}{C A}$ +y $\overset{⇀}{C B}$ ，则x+y= ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (m ， - 1)$ ，若 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | \leq \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影的最小值是．

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16. 已知 $\overset{⇀}{O P_{1}}$ ＝(cosθ，sinθ)， $\overset{⇀}{O P_{2}}$ ＝(3－cosθ，4－sinθ)，若 $\overset{⇀}{O P_{1}}$ ∥ $\overset{⇀}{O P_{2}}$ ，则cos2θ＝.

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17. 定义平面向量的一种运算： $\dot{a} \otimes \dot{b} = | \dot{a} | \cdot | \dot{b} | sin 〈 \dot{a}, \dot{b} 〉$ （ $〈 \dot{a}, \dot{b} 〉$ 是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角），则下列命题：
① $\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b} = \overset{⇀}{b} \otimes \overset{⇀}{a}$ ；② $λ (\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{b}) = (λ \overset{⇀}{a}) \otimes \overset{⇀}{b}$ ；③若 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{b}$ 且 $λ > 0$ ，则 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) \otimes \overset{⇀}{c} = (\overset{⇀}{a} \otimes \overset{⇀}{c}) + (\overset{⇀}{b} \otimes \overset{⇀}{c})$ ；其中真命题的序号是.

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三、解答题

18. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点,点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值;

(2)、若 $y_{0} > 0$ 且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = 0$ ,已知直线 $l : y = k (x + 1)$ 与椭圆 $C$ 交于两点 $A, B$ ,过点 $P$ 且平行于直线 $l$ 的直线交椭圆 $C$ 于另一点 $Q$ ,问:四边形 $P A B Q$ 能否成为平行四边形?若能,请求出直线 $l$ 的方程;若不能,请说明理由.

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19. 设两个向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1$ .

(1)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ，求 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 的夹角.

(2)、若 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 夹角为 $60^{\circ}$ ，向量 $2 t \vec{a} + 7 \vec{b}$ 与 $\vec{a} + t \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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20. 已知向量 $\vec{m} = (sin (x - \frac{π}{6}), 1), \vec{n} = (cos x, 1)$
$(I)$ 若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，且 $x \in (0, π)$ ，求x的值；

$(I I)$ 设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，且 $x \in [0, π]$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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21. 已知 $\vec{m} = (2 cos x + 2 \sqrt{3} sin x, 1)$ ， $\vec{n} = (cos x, - y)$ ，满足 $\vec{m} • \vec{n} = 0$ ．

(1)、将 $y$ 表示为 $x$ 的函数 $f (x)$ ，并求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、已知 $a, b, c$ 分别为 $Δ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 对应的边长， $f (x) (x \in R)$ 的最大值是 $f (\frac{A}{2})$ ，且 $a = 2$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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