2019年高考数学二轮复习专题04：三角函数、解三角形

试卷更新日期：2019-02-21 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 要得到函数 $y = sin 2 x$ 的图象，只要将函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象 $($ $)$

A、向左平移个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移个单位 D、向右平移个单位

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2. 若函数 $f (x) = cos (\frac{π}{2} + 2 x)$ ， $x \in R$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、最小正周期为为奇函数 B、最小正周期为为偶函数 C、最小正周期为为奇函数 D、最小正周期为为偶函数

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3. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) ($ 其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 若直线 $x = \frac{a}{2} π (0 < a < 1)$ 与函数 $y = tan 2 x$ 的图象无公共点，则不等式 $tan 2 x \geq 2 a$ 的解集为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $f (x) = sin (2017 x + \frac{π}{6}) + cos (2017 x - \frac{π}{3})$ 的最大值为 $A$ ，若存在实数 $x_{1} ， x_{2}$ ，使得对任意实数 $x$ 总有 $f (x_{1}) \leq f (x) \leq f (x_{2})$ 成立，则 $A | x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 将函数 $f (x) = cos (x + ϕ) (| ϕ | < \frac{π}{2})$ 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得函数图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称，则 $ϕ$ =（）

A、 B、 $- \frac{π}{3}$ C、 D、

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7. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，则 $ω ， φ$ 的值分别是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知a是实数，则函数 $f (x) = 1 + a sin a x$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，若将它的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 图象的一条对称轴方程为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 设 $f (x) = a sin (π x + α) + b cos (π x + β) + 5$ ，且 $f (2018) = 2$ ，则 $f (2019)$ 等于（）

A、2 B、 C、8 D、

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11. 若 $sin (\frac{π}{2} - α) = - \frac{3}{5} ， α$ 为第二象限角，则 $tan α =$ （）

A、 B、 $\frac{4}{3}$ C、 D、 $\frac{3}{4}$

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12. 定义运算： $| \begin{matrix} \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{3} & a_{4} \end{matrix} \end{matrix} | = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}$ ，将函数 $f (x) = | \begin{matrix} \begin{matrix} \sqrt{3} & sin ω x \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & cos ω x \end{matrix} \end{matrix} |$ （ $ω > 0$ ）的图像向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位所得图像对应的函数为偶函数，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13. 函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的图像如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度后，所得到的图像关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称，则 $m$ 的最小值为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

14. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 $a cos B = 3 b cos A$ ，则 $A - B$ 的最大值是．

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15. 已知角 $α$ 终边上有一点 $P (x ， \sqrt{5})$ ，且 $cos α = \frac{\sqrt{2} x}{4}$ ，则 $x =$

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16. 已知 $sin (\frac{2 π}{3} - x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $cos (x - \frac{π}{6}) =$ .

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17. 已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的图象过点（0， $\frac{1}{2}$ ），最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ ，且最小值为－1.若 $x \in [\frac{π}{6} ， m]$ ， $f (x)$ 的值域是 $[- 1 ， - \frac{\sqrt{3}}{2}]$ ，则m的取值范围是.

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18. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} s i n x ， s i n x \leq c o s x \\ c o s x ， s i n x > c o s x \end{matrix}$ ，下列四个命题
① $f (x)$ 是以 $π$ 为周期的函数 ② $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{4} + 2 k π (k \in Z)$ 对称③当且仅当 $x = π + k π (k \in Z)$ ， $f (x)$ 取得最小值-1④当且仅当 $2 k π < x < \frac{π}{2} + 2 k π (k \in Z)$ 时， $0 < f (x) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ 正确的是．（填正确序号）

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三、解答题

19. 已知 $\frac{sin θ - cos θ}{sin θ + cos θ} = \frac{1}{3}$ ，

(1)、求 $tan θ$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin (θ + \frac{π}{2}) cos (\frac{π}{2} - θ) - {cos}^{2} (π - θ)}{1 + {sin}^{2} θ}$ ；

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20. 已知函数f(x)=sin(ωx+ $φ$ ) - b(ω>0，0< $φ$ <π的图象的两相邻对称轴之间的距离 $\frac{π}{2}$ ，若将f(x)的图象先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再向上平移 $\sqrt{3}$ 个单位，所得图象对应的函数为奇函数．

(1)、求f(x)的解析式并写出单增区间；

(2)、当x∈ $[0, \frac{π}{2}]$ ，f(x)+m-2<0恒成立，求m取值范围．

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21. 已知角 $θ$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点 $M (a, \frac{5}{13})$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若角 $θ$ 是第二象限角，求 $\frac{sin (\frac{π}{2} - θ) + sin (3 π - θ)}{cos (π - θ)}$ 的值.

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22. 已知函数 $g (x) = A cos (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、将函数 $g (x)$ 的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到函数 $f (x)$ 的图象，求函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域；

(2)、求使 $f (x) \geq 2$ 的x的取值范围的集合.

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23. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，将函数 $f (x)$ 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标扩大到原来的 $\sqrt{3}$ 倍，所得图像为函数 $g (x)$ 的图像.

(1)、用“五点描点法”画出 $g (x)$ 的图像（ $x \in [0 ， 2 π]$ ）.

(2)、求函数 $g (x)$ 的对称轴，对称中心.

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24. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0, 0 < φ < π$ ）的最小正周期为 $π$ ，且其图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称.

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $sin (α - \frac{7 π}{6})$ 的值.

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25. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ $B = \frac{π}{3}, cosA = \frac{4}{5}, b = \sqrt{3}$ .

(1)、求 $s i n C$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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26. 已知向量 $\vec{a} = (sin x ， - 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} cos x ， - \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边，其中 $A$ 为锐角， $a = \sqrt{3} ， c = 1$ ，且 $f (A) = 1$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ ．

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