2019年高考数学二轮复习专题03：数列

试卷更新日期：2019-02-21 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 我国古代数学典籍 $《$ 九章算术 $》$ 第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为1000尺，则需要几天时间才能打穿 $($ 结果取整数 $) ($ $)$

A、8 B、9 C、10 D、11

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2. 公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6} = 3 a_{4}$ ，且 $S_{10} = λ a_{4}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、15 B、25 C、13 D、23

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{3} a_{4} = 1$ ， $a_{6} a_{7} a_{8} = 64$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、2 B、 C、 D、4

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差和首项都不为 $0$ ，且 $a_{1} 、 a_{2} 、 a_{4}$ 成等比数列，则 $\frac{a_{1} + a_{14}}{a_{3}} =$ （）

A、 B、 $3$ C、 $5$ D、

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{2} = 2008$ ， $a_{2008} = a_{2004} - 16$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为（）

A、503 B、504 C、503或504 D、505

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6. 两个等差数列 ${a_{n}}$ 或 ${b_{n}}$ ，其前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{20}}{b_{7} + b_{15}} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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7. 整数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n - 1} < 3^{n} + \frac{1}{2} ， a_{n + 2} - a_{n} > 3^{n + 1} - \frac{1}{2} ， a_{2} = 3$ ，则 $a_{2018} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则 $a_{2018}$ 等于 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数a，b满足 $f (a + b) = f (a) \cdot f (b)$ ，且 $f (1) = 2$ ，若 $a_{n} = {log}_{2} f (n) (n \in N^{*})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前9项和为 $($ $)$

A、9 B、 C、 D、1

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10. 已知{a_n}是公差为1的等差数列；S_n为{a_n}的前n项和，若S₈=4S₄ ，则a₁₀=（）

A、 B、 C、10 D、12

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11. 已知数列 $2 ， 3 ， \sqrt{14} ， \sqrt{19} ， 2 \sqrt{6} ， \dots ，$ 则 $12$ 是它的（）

A、第项 B、第项 C、第 $30$ 项 D、第项

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12. 等差数列{a_n}中，a₁+a₅=14，a₄=10，则数列{a_n}的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13. 设等差数列{a_n}的公差为d ，若数列{2a₁a_n}为递减数列，则（）

A、d<0 B、d>0 C、a₁d<0 D、a₁d>0

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二、填空题

14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ,且 $a_{1}, a_{3}, a_{13}$ 成等比数列,若 $a_{1} = 1, S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和,则 $\frac{2 S_{n} + 24}{a_{n} + 5}$ 的最小值为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{1} + 3 a_{3} = S_{6}$ ，给出以下结论：① $a_{10} = 0$ ② $S_{10}$ 最小③ $S_{7} = S_{12}$ ④ $S_{19} = 0$ ，正确的有.

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16. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 0, a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$ 且 $a_{n} = 9$ ，则 $n =$

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17. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中,若 ${log}_{2} (a_{2} a_{3} a_{5} a_{7} a_{8}) = 5$ ,则 $a_{1} a_{9} =$ .

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， ${c_{n}}$ 的公比分别为2，A，B记 $b_{n} = a_{4 (n - 1) + 1} + a_{4 (n - 1) + 2} + a_{4 (n - 1) + 3} + a_{4 (n - 1) + 4}$ ， $c_{n} = a_{4 (n - 1) + 1} \cdot a_{4 (n - 1) + 2} \cdot a_{4 (n - 1) + 3} \cdot a_{4 (n - 1) + 4}$ ， $(n \in N *)$ ，则 $\frac{A}{B} =$ ．

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19. 数列 ${a_{n}}$ 且 $a_{n} = {\begin{matrix} \frac{1}{n^{2} + 2 n} ， n 为奇数 \\ s i n \frac{n π}{4} ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，若 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $S_{2018} =$ ．

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三、解答题

20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $(n + 1) a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} = 2$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（Ⅰ）证明数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = n \cdot {(- \frac{\sqrt{6}}{3})}^{\frac{S_{n}}{n}}$ ，且 $b_{n} \leq M$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求 $M$ 的最小值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = 3 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} {log}_{2} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ），且 $a_{1} = 1$ ， $b_{n} = a_{n} + 1$ ．

(1)、证明：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${n b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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23. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{5} = 9, S_{10} = 100$ .

(1)、求通项 $a_{n}$ ；

(2)、记数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{S_{n + 1} - T_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $U_{n}$ .

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24. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - \frac{3}{2^{n}}, n \in N^{*}$ ， $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{2^{n}}$

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在实数 $λ$ ，对任意 $m, n \in N^{*}$ ，不等式 $S_{m} > \frac{λ}{b_{n}}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的取值范围，若不存在请说明理由．

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25. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $3 S_{n + 1}$ 是 $6$ 与 $2 S_{n}$ 的等差中项（ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、证明数列 ${S_{n} - \frac{3}{2}}$ 为等比数列；

(2)、 $b_{n} = {log}_{3} a_{n}$ ,求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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