2019年高考数学二轮复习专题02：函数与导数

试卷更新日期：2019-02-21 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 方程 ${log}_{4} x + x = 7$ 的解所在区间是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 给出定义：若 $m - \frac{1}{2} < x \leq m + \frac{1}{2}$ （其中 $m$ 为整数），则 $m$ 叫做离实数 $x$ 最近的整数，记作 ${x}$ ，即 ${x} = m$ .设函数 $f (x) = x - {x}$ ，二次函数 $g (x) = a x^{2} + b x$ ，若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象有且只有一个公共点，则 $a ， b$ 的取值不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} - x + 1) - m$ ，若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知函数 $f (x) = | {log}_{2} x | ， g (x) = {\begin{matrix} 0 ， 0 < x \leq 1 \\ | x - 2 | - \frac{1}{2} ， x > 1 \end{matrix}$ ，则方程 $| f (x) - g (x) | = 1$ 实根的个数为（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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5. 已知函数 $f (x) = (x - a) (x - b) ($ 其中 $a > b)$ ，若 $f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = a^{x} + b$ 的图象大致为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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6. 设函数 $f (x) = | x | x + b x + c$ ，则下列命题中正确的个数是（）
①当 $b > 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是单调增函数；②当 $b < 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有最小值；③函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， c)$ 对称；④方程 $f (x) = 0$ 可能有三个实数根.

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} ， x \leq 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = f (x) + x + a$ .若 $g (x)$ 存在2个零点，则a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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8. 设函数 $f (x) = x | x | + b x + c$ 给出下列四个命题：
①c = 0时， $y = f (x)$ 是奇函数； ② $b = 0 ， c > 0$ 时，方程 $f (x) = 0$ 只有一个实根； ③ $y = f (x)$ 的图象关于点(0 ， c)对称； ④方程 $f (x) = 0$ 至多3个实根.
其中正确的命题个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 设 $f (x) = {\begin{matrix} | x - 1 | - 2 | x | \leq 1 \\ \frac{1}{1 + x^{2}} | x | > 1 ， \end{matrix} 则 f (f (\frac{1}{2})) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{13}$ C、 $- \frac{9}{5}$ D、 $\frac{25}{41}$

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10. 函数 $f (x)$ 的导函数 $f' (x)$ ，对 $\forall_{x} \in R$ ，都有 $f' (x) > f (x)$ 成立，若 $f (ln 2) = 2$ ，则满足不等式 $f (x) > e^{x}$ 的x的范围是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若f(x)＝x²－2x－4lnx ，则f′(x)＞0的解集为（）

A、(0，＋∞) B、(－1，0)∪(2，＋∞) C、(－1，0) D、(2，＋∞)

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + x ln x$ ， $g (x) = x^{3} - x^{2} - 5$ ，若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [\frac{1}{2} ， 2]$ ，都有 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 2$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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13. 已知函数 $f (x) = a^{x} + e^{x} - x ln a (a > 0 ， a \neq 1)$ ，对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1]$ ，不等式 $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | \leq a - 2$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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14. 设函数 $f' (x)$ 是奇函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数，当 $x > 0$ 时， $ln x \cdot f' (x) < - \frac{1}{x} f (x)$ ，则使得 $(x^{2} - 4) f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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15. 已知函数 $f (x) = - ln x + x + h$ ，在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上任取三个实数a，b，c均存在以 $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 为边长的三角形，则实数h的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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16. 已知某随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $P (x) = {\begin{matrix} 0 ， x \leq 0 ， \\ e^{- x} ， x > 0 ， \end{matrix}$ 则随机变量 $X$ 落在区间 $(1 ， 3)$ 内在概率为（）

A、 $\frac{e + 1}{e^{2}}$ B、 $\frac{e^{2} - 1}{e^{3}}$ C、 $e^{2} - e$ D、 $e^{2} + e$

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17. 设 $f (x) =$ ${\begin{matrix} x^{2} ， x \in [0 ， 1] \\ 2 - x ， x \in (1 ， 2] \end{matrix}$ ，则 $\int_{0}^{2} f (x) d x$ 等于（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、不存在

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二、填空题

18. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 x)$ ，且当 $x \in [1 ， 2)$ 时 $f (x) = ln x$ ．若在区间 $[1 ， 4)$ 内，函数 $g (x) = f (x) - 2 a x$ 有两个不同零点，则 $a$ 的范围为．

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19. 若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - t$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上有且只有1个零点，则t的取值范围为；若 $y = | f (x) |$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的值域为 $[0 ， 2]$ ，则 $t =$ ．

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20. 二次函数 $f (x) = x^{2} + (2 a - 1) x + 1 - 2 a$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 及 $(0 ， \frac{1}{2})$ 内各有一个零点，则实数 $a$ 的范围是

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21. 对a， $b \in R$ ，设 $m i n (a ， b) = {\begin{matrix} a ， a < b \\ b ， a \geq b \end{matrix}$ ，函数 $f (x) = m i n (| x + 2 | ， | x - 1 |) .$ 若关于x的方程 $f (x) = k x - 1$ 有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是．

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22. 定义在R上的可导函数 $f (x)$ ，当 $x \in (1 ， + \infty)$ 时， $(x - 1) f^{'} (x) - f (x) > 0$ 恒成立， $a = f (2)$ ， $b = \frac{1}{2} f (3) ， c = (\sqrt{2} + 1) f (\sqrt{2})$ ，则a，b，c的大小关系为

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23. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {(x + 1)}^{2}, - 1 \leq x \leq 0 \\ \sqrt{1 - x^{2}}, 0 < x, \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $\int \begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix} f (x) d x =$ ．

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24. 如图，已知点 $A (0 ， 1)$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0}) (x_{0} > 0)$ 在曲线 $y = x^{2}$ 上移动，过 $P$ 点作 $P B$ 垂直 $x$ 轴于 $B$ ，若图中阴影部分的面积是四边形 $A O B P$ 面积的 $\frac{1}{3}$ ，则 $P$ 点的坐标为

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三、解答题

25. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - 1 | + x^{2} + k x$ ，且定义域为 $(0, 2)$ .

(1)、求关于 $x$ 的方程 $f (x) = k x + 3$ 在 $(0, 2)$ 上的解；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 上单调减函数，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 在 $(0, 2)$ 上有两个不同的实根，求实数 $k$ 的取值范围.

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26. 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．

(1)、下列几个模拟函数中：①y＝ax²＋bx；②y＝kx＋b；③y＝log_ax＋b；④y＝a^x＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；

(2)、若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？

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27. 某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入2l世纪以来，该产品的产量平稳增长 $.$ 记2009年为第1年，且前4年中，第x年与年产量 $f (x) ($ 万件 $)$ 之间的关系如表所示：

x

1

2

3

4

$f (x)$

$4.00$

$5.58$

$7.00$

$8.4$

若 $f (x)$ 近似符合以下三种函数模型之一： $f (x) = a x + b, f (x) = 2^{x} + a, f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} x + a$ ．

(1)、找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式 $($ 所求a或b值保留1位小数 $)$ ；

(2)、因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015年的年产量比预计减少 $30 %$ ，试根据所建立的函数模型，确定2015年的年产量．

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28. 已知函数 $f (x) = a^{x} (a > 0 ， a \neq 1)$ ，且 $f (2) - 4 f (1) = - 4$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (3 m - 2) < f (2 m + 5)$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若方程 $| f (x) - 1 | = t + 1$ 有两个不同的实数解，求实数 $t$ 的取值范围．

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29. 设 $a \in R$ ，已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a ln x$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值 $g (a)$ ；

（Ⅲ）若 $a > 0$ , 求使方程 $f (x) = 2 a x$ 有唯一解的 $a$ 的值．

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30. 已知函数 $f (x) = a x - ln x (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明 $\frac{1}{ln x_{1}} + \frac{1}{ln x_{2}} > 2$ .

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x	1	2	3	4
$f (x)$	$4.00$	$5.58$	$7.00$	$8.4$