河北衡水金卷2018-2019学年高三理数12月第三次联合质量测评试卷

试卷更新日期：2019-02-19 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 2 - i$ ，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | {log}_{2} (x - 2) < 1} ， B = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0} ，则 (C_{U} A)$ $\cap^{} B$ 为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 若命题p为： $\forall x \in [1 ， + \infty) ， sin x + cos x \leq \sqrt{2} ，则 \neg p$ 为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为（）

A、14 B、16 C、18 D、20

查看试题解析
5. 如图所示，分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
6. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：(1) $f (x + 2) = f (x)$ ；(2) $f (x - 2)$ 为奇函数；(3)当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时， $f (x)$ 图象连续且 $f^{'} (x) > 0$ 恒成立，则 $f (- \frac{15}{2}) ， f (4) ， f (\frac{11}{2})$ 的大小关系正确的为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 如图所示，边长为2的正方形ABCD中，E为BC边中点，点P在对角线BD上运动，过点P作AE的垂线，垂足为F，当 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{E P}$ 最小时， $\overset{⇀}{F C} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B}$ + $\frac{3}{4} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A B}$ + $\frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{4}{5} \vec{A B} + \frac{3}{5} \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{4}{5} \vec{A D}$

查看试题解析
9. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，左、右顶点分别为A、B，过点 $F_{1}$ 的直线与双曲线C的右支交于P点，且 $| \overset{⇀}{A P} | cos \overset{⇀}{A P} ， \overset{⇀}{A F_{2}} = | \overset{⇀}{A F_{2}} | ，则 Δ A B P$ 的外接圆面积为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 利用一半径为4cm的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：
(1)以O为圆心制作一个小的圆；(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD；(3)以正方形ABCD的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大圆上(如图)；(4)将正方形ABCD作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧面折起，使四个等腰三角形的顶点重合，问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为（）

A、 B、 C、 D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a + t} + \frac{y^{2}}{a} = 1 (a > 0 ， t > 0)$ 两个焦点之间的距离为2，单位圆O与 $x ， y$ 的正半轴分别交于M，N点，过点N作圆O的切线交椭圆于P，Q两点，且 $P M ⊥ M Q$ ，设椭圆的离心率为e ，则 $e^{2}$ 的值为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
12. 已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ，两个等式： $f (- \frac{π}{4} + x) - f (- \frac{π}{4} - x) = 0 ， f (\frac{π}{4} - x) + f (\frac{π}{4} + x) = 0$ 对任意的实数 $x$ 均恒成立，且 $f (x) 在 (0 ， \frac{3 π}{16})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题

13. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y + 2 \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ - 2 x + y + 2 \geq 0 ， \end{matrix} 则 z = 3 x - 2 y$ 的最小值为．

查看试题解析
14. 二项式 ${(a x + \frac{b}{x})}^{n} (a > 0 ， b > 0)$ 的展开式中，设“所有二项式系数和”为A，“所有项的系数和”为B，“常数项”值为C，若 $A = B = 256 ， C = 70$ ，则含 $x^{6}$ 的项为．

查看试题解析
15. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2 ，点 M (- 2 ， 1) ， P$ 为圆外任意一点．过点P作圆C的一条切线，切点为N，设点P满足 $| P M | = | P N |$ 时的轨迹为E，若点A在圆C上运动，B在轨迹E上运动，则 $| A B |$ 的最小值为．

查看试题解析
16. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = cos x$ ，又当 $x \leq 0$ 时， $f^{'} (x) \geq \frac{1}{2}$ 成立，若 $f (t) \geq f (\frac{π}{2} - t) + \frac{\sqrt{2}}{2} cos (t + \frac{π}{4})$ ，则实数t的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a, b, c 且 a = \frac{3 \sqrt{6}}{2}, A = 60^{\circ}, C = 45$ .

(1)、求c的值；

(2)、以AB为一边向外(与点C不在AB同侧)作一新的△ABP，使得 $∠ A P B = 30^{\circ}$ ，求 $Δ A B P$ 面积的最大值．

查看试题解析

18. 随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

个人所得税税率表（调整前）			个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元			免征额5000元
级数	全月应纳税所得额	税率%	级数	全月应纳税所得额	税率%
1	不超过1500元的部分	3	1	不超过3000元的部分	3
2	超过1500元至4500元的部分	10	2	超过3000元至12000元的部分	10
3	超过4500元至9000元的部分	20	3	超过12000元至25000元的部分	20
…	…	…	…	…	…

(1)、假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记

x

表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于

x

的函数表达式；

(2)、某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

收入（元）	[3000,5000)	[5000,7000)	[7000,9000)	[9000,11000)	[11000,13000)	[13000,15000)
人数	30	40	10	8	7	5

①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a表示抽到作为宣讲员的收入在[3000，5000)元的人数，b表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量 $Z = | a - b |$ ，求Z的分布列与数学期望；

②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？

查看试题解析

19. 如图所示，底面为菱形的直四棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 被过三点 $C 、 B_{1} 、 D_{1}$ 的平面截去一个三棱锥 $C_{1} - C B_{1} D_{1}$ (图一)得几何体 $A_{1} B_{1} D_{1} - A B C D$ (图二)，E为 $B_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、点F为棱 $A A_{1}$ 上的动点，试问平面 $F B_{1} D_{1}$ 与平面 $C E A_{1}$ 是否垂直?请说明理由；

(2)、设 $A B = 2 ， ∠ B A D = 60^{\circ} ， A A_{1} = 4$ ，当点F为 $A A_{1}$ 中点时，求锐二面角 $F - B_{1} D_{1} - C$ 的余弦值．

查看试题解析
20. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 m x (m > 0)$ 的焦点为F，已知直线 $x - y - m = 0$ 与抛物线C交于A，B两点(A，B两点分别在 $x$ 轴的上、下方)．

(1)、求证： $\frac{A F}{B F} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ ；

(2)、已知弦长 $| A B | = 8$ ，试求：过A，B两点，且与直线 $x + y + 3 = 0$ 相切的圆D的方程．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ ．

(1)、若 $a = 1, g (x) = \frac{x f (x) - x}{e^{x}}$ ，证明：当 $x \geq 5 时， g (x) < 1$ ；

(2)、设 $h (x) = 1 - \frac{f (x) - 1}{e^{x}}$ ，若函数 $h (x) 在 (0 ， + \infty)$ 上有2个不同的零点，求实数 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + t c o s α, \\ y = 1 + t s i n α \end{matrix}$ (t为参数， $0 < α < π$ )，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{1 + s i n^{2} θ}$ .

(1)、当 $a = \frac{π}{6}$ 时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (- 1, 1)$ ，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定 $| P A | \cdot | P B |$ 的取值范围．

查看试题解析
23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | - | x + a |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < - 2$ 的解集；

(2)、当 $x, y \in R 时， - 2 + f (y) \leq f (x) \leq 2 + f (y) ，求 a$ 的取值范围．

查看试题解析